[論文レビュー] Model Reduction by Rational Interpolation

Christopher Beattie, Serkan Gugercin|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2014

Model Reduction and Neural Networks参考文献 86被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、大規模な線形動的システムに対する補間型モデル還元手法の包括的サーベイを提示する。特に、効率的で高精度な低次元モデルを可能にする有理関数補間技術に焦点を当てる。選択された周波数およびパrameter点における伝達関数の補間を活用することで、Petrov-Galerkin射影により$τ}_2$最適または重み付き最適近似が達成され、パラメトリック系および微分代数方程式系への拡張も含む。

ABSTRACT

The last two decades have seen major developments in interpolatory methods for model reduction of large-scale linear dynamical systems. Advances of note include the ability to produce (locally) optimal reduced models at modest cost; refined methods for deriving interpolatory reduced models directly from input/output measurements; and extensions for the reduction of parametrized systems. This chapter offers a survey of interpolatory model reduction methods starting from basic principles and ranging up through recent developments that include weighted model reduction and structure-preserving methods based on generalized coprime representations. Our discussion is supported by an assortment of numerical examples.

研究の動機と目的

• 大規模な線形動的システムに対する射影ベースの補間型モデル還元手法の統一的概要を提供すること。
• 標準的な状態空間形式を超えて、遅延を含む系、多項式構造を持つ系、微分代数方程式（DAE）を含む系への補間型手法の拡張をすること。
• 有理関数補間を用いた$τ}_2$最適モデル還元の技術を提示すること、重み付きおよびパラメトリック拡張を含む。
• 内部システムダイナミクスの情報が不要なデータ駆動型フレームワークを構築すること。
• 一般化コプライム因子分解と複数の周波数およびパrameter点におけるパラメトリック補間を用いて、構造を保存するモデル還元を可能にすること。

提案手法

• 選択された周波数点における伝達関数の有理関数補間を用いて、Petrov-Galerkin射影により低次元モデルを構築する。
• 補間点におけるシステムの伝達関数およびその導関数に基づく右および左射影基底を用いる。
• Loewnerフレームワークを用いて、内部システム行列が不要な入出力測定値から直接低次元モデルを構築する。
• パラメトリック系への拡張として、複数のパラメータ値における補間を組み込み、両側射影を用いてパラメータ勾配を暗黙的に扱う。
• 一般化コプライム因子分解を用いてシステム構造を保存し、構造を保存するモデル還元を可能にする。
• 射影基底の線形従属を除去するためにランクを明らかにするQR分解またはSVDを用い、最終的な低次元モデルの次元を削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遅延、多項式構造、微分代数方程式（DAE）を含む系へ、補間型モデル還元をどのように拡張できるか。
• RQ2 補間型低次元モデルが$τ}_2$最適性または重み付き$τ}_2$最適性を達成するための条件は何か。
• RQ3 内部システムダイナミクスの情報が得られない状況でも、入出力測定値から低次元モデルを直接構築できるか。
• RQ4 複数のパラメータ値にわたり、精度を保持しつつパラメトリック系を効率的に還元する方法は何か。
• RQ5 パラメータ勾配は補間プロセスにおいてどのような役割を果たし、明示的な勾配計算なしに一致させることは可能か。

主な発見

• 周波数点における伝達関数およびその導関数の一致により、局所最適性を保証する$τ}_2$最適モデル還元が達成される。
• パラメトリック系では、複数の周波数およびパラメータ点における補間により、伝達関数値、導関数、パラメータ勾配を明示的な勾配情報なしに一致させることができる。
• 数値例では、$s = 1$における伝達関数およびその導関数の一致に加え、各部分空間ごとに1つの追加ベクトルを用いることで、$τ}_2 = [0.2~{}0.3]^T$におけるパラメータ勾配の正確な一致が達成された。
• 一般化コプライム因子分解の使用により、無作為性や安定性などのシステム特性を保存するモデル還元が可能になった。
• Loewnerフレームワークにより、状態空間実現が不要な入出力測定値からの直接的なデータ駆動型モデル還元が可能になった。
• 射影基底にランクを明らかにする技術を適用することで、基底の列が線形従属である場合に特に、精度を保持しつつ最終的な低次元モデルの次元を削減できる。