[論文レビュー] Model reduction for transport-dominated problems via online adaptive bases and adaptive sampling

Benjamin Peherstorfer|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2018

Model Reduction and Neural Networks被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、局所的で時間に適応する減少基底と、全モデル評価点を効率的に選択する適応的サンプリング手法を用いて、輸送優勢な問題に対するオンライン適応型低次元モデルを提案する。コherent構造の空間的・時間的局所性を活用することで、従来の全モデルや通常の低次元モデルに比べて最大10倍の高速化を達成し、構造が非常に局所的である場合には、はるかに少ないサンプリング点数で実現可能である。

ABSTRACT

This work presents a model reduction approach for problems with coherent structures that propagate over time such as convection-dominated flows and wave-type phenomena. Traditional model reduction methods have difficulties with these transport-dominated problems because propagating coherent structures typically introduce high-dimensional features that require high-dimensional approximation spaces. The approach proposed in this work exploits the locality in space and time of propagating coherent structures to derive efficient reduced models. Full-model solutions are approximated locally in time via local reduced spaces that are adapted with basis updates during time stepping. The basis updates are derived from querying the full model at a few selected spatial coordinates. A core contribution of this work is an adaptive sampling scheme for selecting at which components to query the full model to compute basis updates. The presented analysis shows that, in probability, the more local the coherent structure is in space, the fewer full-model samples are required to adapt the reduced basis with the proposed adaptive sampling scheme. Numerical results on benchmark examples with interacting wave-type structures and time-varying transport speeds and on a model combustor of a single-element rocket engine demonstrate the wide applicability of the proposed approach and runtime speedups of up to one order of magnitude compared to full models and traditional reduced models.

研究の動機と目的

• 対流優勢な流れや波動現象など、従来の低次元モデルが高次元の解の特徴（高次元のコルゴゴロフn-幅）により失敗する輸送優勢問題におけるモデル低減の課題に取り組む。
• 時間に変化するコherent構造を追跡できるオンライン基底適応により、固定された低次元空間の制限を克服する。
• 全モデルの基底更新に必要な空間的点を効率的に選択するための適応的サンプリング戦略を開発する。
• 時間変動係数、非線形ダイナミクス、変化する輸送速度を伴う問題において、本手法の頑健性と効率性を実証する。
• ベンチマーク問題および実世界の燃焼問題において、全次元モデルおよび従来の固定型低次元モデルに比べて顕著な計算高速化を達成する。

提案手法

• 選択された空間的点における全モデル評価から得られる低ランクの基底更新を用いて、時間とともに変化する局所的低次元空間を構築する。
• 基底更新のための全モデルのクエリ対象を最小限に抑えることで、精度を維持しつつサンプリングコストを低減する適応的サンプリング手法を用いる。
• 非線形項を効率的に処理するため、離散的経験的補間法（DEIM）を低次元モデルに適用する。
• 各時間ステップ（または数ステップごと）に基底を適応させることで、移動するコherent構造を追跡し、局所的な精度を保証する。
• 残差の空間的局所性を活用して、全モデルのサンプル数を削減し、コherencyの減衰とサンプリング効率との理論的関係を裏付ける。
• オフラインフェーズを必要としないオンラインで暗黙的にパrameter化されたモデルを実装し、パrameterの変化に即座に適応可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 伝統的な低次元モデルが高次元の解の特徴のため失敗する輸送優勢問題に、どのようにしてモデル低減を効果的に適用できるか？
• RQ2 コherent構造の空間的局所性と、基底を適応させるために必要な全モデルのサンプル数との関係は何か？
• RQ3 均一なサンプリングに比べ、適応的サンプリング戦略が、正確な基底更新に必要な全モデル評価回数を顕著に削減できるか？
• RQ4 時間変動ダイナミクスを伴う問題において、本手法のオンライン適応型基底法は、全次元モデルおよび固定型低次元モデルに比べ、精度と実行時間の両面でどのように比較されるか？
• RQ5 解の挙動がパrameterによって著しく変化するさまざまなパrameter領域において、本手法はどの程度頑健であるか？

主な発見

• 提案手法AADEIMは、数値実験において全次元モデルに比べ最大10倍の高速化を達成した。これにはロケット燃焼器モデルも含まれる。
• 時間変動する輸送速度を伴うベンチマーク波動問題において、AADEIMモデルは全モデルに比べ約6倍の高速化を達成した。
• 同じ設定において、固定型低次元モデルは全モデルよりも遅く、輸送優勢問題において固定されたオフライン基底が非効率であることを示している。
• 1自由度あたり50点のサンプリングで、適応的サンプリング手法は約10⁻⁴の誤差を達成したが、均一サンプリングでは少なくとも175点が必要で、10⁻²の誤差にまで到達した。
• 本手法は広いパrameter領域において頑健であり、解の挙動がパrameterの変化によって著しく変化しても、低誤差と高い高速化を維持した。
• 理論的分析により、残差における局所的コherencyの速やかな減衰が、必要なサンプリング点数の削減に寄与することを確認し、適応的サンプリング戦略の有効性を裏付けた。