[論文レビュー] Model reduction techniques for linear constant coefficient port-Hamiltonian differential-algebraic systems

Sarah‐Alexa Hauschild, Nicole Marheineke+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、線形定数係数ポート・ハミルトニアン微分代数方程式（pHDAE）に対して、エネルギー構造、代数的制約、およびパassing性を保全する構造保存型モデル低次元化手法を提示する。構造保存型インデックス還元を用いて、モーメントマッチングおよび効率/フロー制約法をpHDAEに適応し、特定の点におけるモーメントマッチングではH∞およびスペクトルノルムにおいてO(10⁻¹⁵)の誤差、ECRMでは周波数全域でO(10⁻⁵)の誤差を達成し、高精度な近似を実現した。

ABSTRACT

Port-based network modeling of multi-physics problems leads naturally to a formulation as port-Hamiltonian differential-algebraic system. In this way, the physical properties are directly encoded in the structure of the model. Since the state space dimension of such systems may be very large, in particular when the model is a space-discretized partial differential-algebraic system, in optimization and control there is a need for model reduction methods that preserve the port-Hamiltonian structure while keeping the (explicit and implicit) algebraic constraints unchanged. To combine model reduction for differential-algebraic equations with port-Hamiltonian structure preservation, we adapt two classes of techniques (reduction of the Dirac structure and moment matching) to handle port-Hamiltonian differential-algebraic equations. The performance of the methods is investigated for benchmark examples originating from semi-discretized flow problems and mechanical multibody systems.

研究の動機と目的

• マルチフィジックス問題に起因する大規模ポート・ハミルトニアン微分代数方程式（pHDAE）におけるモデル低次元化の必要性に対応する。
• 低次元化中に、ポート・ハミルトニアン構造、すなわちパassing性、エネルギー保存、および明示的・隠れ代数的制約を保持する。
• 微分方程式のインデックスが1または2であるpHDAEに、既存の構造保存型低次元化手法（モーメントマッチングおよび効率/フロー制約法）を適応する。
• 係数行列に符号された物理的性質、たとえばJの反対称性、RおよびEの半正定値性、およびパassing性を、低次元化されたモデルが保持することを保証する。

提案手法

• pHDAEにおける微分変数と代数変数を分離する構造保存型正則化概念を適用し、動的状態の選択的低次元化を可能にする。
• 制約行列（例：GT）の特異値分解（SVD）を用いて、重複する変数（例：v1 = 0）を同定・削除し、基礎となる常微分方程式系を導出する。
• 選択された点 s₀ ∈ ℂ ∪ {∞}（例：s₀ = ∞ および s₀ = 10⁻¹⁰）におけるガラーキン射影によるモーメントマッチングを実装し、伝達関数のモーメントを一致させる。
• 効率制約法（ECRM）およびフロー制約法（FCRM）を適用し、低次元化モデルにおけるディラック構造およびエネルギーバランスを保持する。
• 低次元化されたシステムがpHDAE構造を保持するように、ハミルトニアン、散乱、接続行列を低次元化形式で保存する。
• 近似品質を評価するためにスペクトルノルムおよびH∞ノルムを用い、低次元化サイズrの異なる条件下でECRM、FCRM、およびモーメントマッチングを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的制約を有するpHDAEに対して、モーメントマッチングを構造保存型に適応可能であり、ポート・ハミルトニアン構造およびパassing性を保全できるか？
• RQ2 インデックス1または2の構造を持つpHDAEに対して、効率およびフロー制約法はどのように性能を発揮するか？また、精度および安定性の観点で、それらの相対的利点は何か？
• RQ3 FCRMにおけるフィードスラッグ項が高周波数近似誤差に与える影響は何か？また、ECRMおよびモーメントマッチングと比較して、その影響はどの程度か？
• RQ4 低次元化の点s₀（例：s₀ = ∞、s₀ = 10⁻¹⁰、s₀ = 0）の選択が、スペクトルノルムおよびH∞ノルムにおけるモーメントマッチングの精度にどのように影響するか？
• RQ5 構造保存型モデル低次元化は、半離散化された流れ系およびマルチボディ系において、物理的性質（例：エネルギー保存、安定性）をどの程度維持できるか？

主な発見

• s₀ = ∞ におけるモーメントマッチングは、高周波数応答においてスペクトルノルムでO(10⁻¹⁵)の相対誤差を達成し、高周波数領域でのほぼ正確な近似を示している。
• s₀ = 10⁻¹⁰ におけるモーメントマッチングも、低周波数応答において同様に低い誤差（O(10⁻¹⁵)）を達成し、優れた局所的近似品質を示している。
• 効率制約法（ECRM）は、周波数全域で一貫した良好な近似品質を達成し、誤差がO(10⁻⁵)程度である。これはH∞およびH2ノルムにおいて、モーメントマッチングを1〜2桁のオーダーで上回っている。
• FCRMはECRMと類似した近似行動を示すが、低次元化過程で追加のフィードスラッグ項が導入されることで、高周波数領域で誤差のずれ（drift）が生じる。
• g = 6000のばね質量系では、低次元化後のモデルサイズがn₁ = 11999となり、s₀ = ∞ または s₀ = 10⁻¹⁰ におけるモーメントマッチングが、高精度な伝達関数近似を達成している。
• リャプノフバランスを適用した場合、ECRMの性能は平衡削減法と同等であり、グローバル誤差最小化の観点からその頑健性を確認している。