[論文レビュー] Model sets with positive entropy in Euclidean cut and project schemes

Tobias Jäger, Daniel Lenz+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、窓が空集合の内部をもたない場合でさえも、関連するデローネ力学系において正の位相的エントロピーを示す、カットアンドプロジェクト方式を用いたユークリッドモデル集合の構成を行う。確率的および決定的構成を用いて、エントロピーが窓の境界測度に比例することを示し、ユークリッド設定における正のエントロピーを示す最初の例を提供する。

ABSTRACT

We construct model sets arising from cut and project schemes in Euclidean spaces whose associated Delone dynamical systems have positive toplogical entropy. The construction works both with windows that are proper and with windows that have empty interior. In a probabilistic construction, the entropy almost surely turns out to be proportional to the measure of the boundary of the window.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間におけるカットアンドプロジェクト方式を用いて、その力学系において正の位相的エントロピーを示すモデル集合を構成すること。
• 窓が空集合の内部をもつ場合でさえも、このような正のエントロピーが生じることを示し、正則性がゼロエントロピーを意味するとの仮定に挑戦すること。
• 窓の幾何学的複雑さ（特に境界測度）と系の力学的カオスの間の関係を確立すること。
• 准結晶的およびアモルファスな配置の中間的なモデルを導入することで、非周期的秩序の理解を拡張すること。

提案手法

• G×Hにおける格子とHの部分集合W⊆Hを用いて、ユークリッド空間におけるカットアンドプロジェクト方式（CPS）によるモデル集合の構成。
• モデル集合をΛ = π_G(L ∩ (G×W))として定義し、Lは格子をGに射影したもののこと。
• 窓を確率的に生成する構成を用い、ほとんど確実にエントロピーが窓の境界測度に比例することを示す。
• 内部空間における集合の測度的独立性を用いて、フルシフトをハルに埋め込み、正のエントロピーを示す。
• 決定的構成を修正し、L*内の点の周りの縮小近傍を除去してカントール型集合C₀を形成し、局所的に独立する集合を貼り付ける。
• 内部群Hを高次元に拡張するため、構成を変更して位相的独立性と境界複雑性を保つこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド空間におけるカットアンドプロジェクト方式のモデル集合は、窓が空集合の内部をもつ場合でも正の位相的エントロピーを示すことができるか？
• RQ2 窓の境界測度と関連するデローネ力学系の位相的エントロピーの間にはどのような関係があるか？
• RQ3 窓の確率的構成は、ほとんど確実に正のエントロピーを示すモデル集合を生成することができるか？
• RQ4 濃い境界または非自明な境界構造の存在は、力学的スペクトルおよびエントロピーにどのように影響するか？
• RQ5 このような構成は、正のエントロピーを保ちながら、高次元内部群に一般化可能か？

主な発見

• この論文は、ユークリッド空間におけるカットアンドプロジェクト方式を用いて、正の位相的エントロピーを示すモデル集合を構成し、この設定における最初の例を提供する。
• ランダムに生成された窓に対して、位相的エントロピーはほとんど確実に窓の境界のハール測度に比例する。
• 窓が空集合の内部をもつ場合でさえも、関連するデローヌ力学系は正の位相的エントロピーを示すことができる。これは、ハルにフルシフトが埋め込まれているためである。
• 構成は内部空間における集合の測度的独立性に依存しており、これはほとんどすべての窓の平行移動に対してハル内にフルシフトが存在することを保証する。
• 結果は、内部群Hを高次元に拡張しても同様に成り立ち、類似の構成により正のエントロピーを示すモデル集合が得られる。
• 窓が空集合の内部をもつ場合、力学系は一意的エルゴード的ではない。ハルに空集合が含まれるため、正則モデル集合の正則性に欠ける。