[論文レビュー] Model structures, categorial quotients and representations of super commutative Hopf algebras II, The case Gl(m,n)

Rainer Weissauer|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、超越的体拡張上でのGl(m|n)の代数的スーパー表現の圏からGl(m−n)の有限次元スーパー表現の半単純圏への弱完全なテンソル関手を確立する。最大特異的単純表現が、多重度がn!で有界な同型的表現へ写されることが証明され、その多重度に関する再帰的公式が導出され、スーパー次元の明示的計算がWeyl次元公式を用いて可能となる。

ABSTRACT

We construct a tensor functor from the category of super representations of the superlinear group Gl(m,n) over a field of characteristic zero to the category of super representations of the linear group Gl(m-n) over some extension field (for m at least equal to n). We show that this functor maps irreducible representations to isotypic representations, and we compute the multiplicities.

研究の動機と目的

• Gl(m|n)の代数的スーパー表現の圏からGl(m−n)のスーパー表現の半単純圏への弱完全なテンソル関手を構成すること。
• この関手による単純表現の像を特徴づけ、特に最大特異的表現に焦点を当てること。
• 像における既約表現の多重度に関する再帰的公式を導出し、スーパー次元の明示的計算を可能とすること。
• 最大特異的表現のスーパー次元を、多重度とパリティシフトを介して古典的Weyl次元と関連付けること。

提案手法

• 超越的次元nの純粋超越的体拡張K/kを導入し、Gl(m|n)-表現の圏をK上に持ち上げる。
• カテゴリカルかつモデル理論的技法を用いて、K線形な弱完全なテンソル関手φ: T ⊗_k K → sRep_K(H) (H = Gl(m−n)) を構成する。
• スーパー表現の圏の構造を用いてブロックへの分解を定義し、ラベル付き集合I×(λ)とI∘(λ)の交差を用いて最大特異的重みを同定する。
• 八面体公理と長い完全Hom-系列を適用し、部分圏B₀がアーベル的かつ半単純であることを証明し、コホモロジー関手の存在を保証する。
• コホモロジー関手Hⁱ(X) = τ₀(X[i])を定義し、B₀における長い完全系列を得る。これにより、スuspension関手がパリティシフト関手Πと一致することが特定される。
• 同型B ≅ sRep_K(H) ⊗_k svec_Kを用いて、コホモロジーを順次成分と同一視し、六角形完全系列構造を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gl(m|n)の代数的スーパー表現の圏は、体拡張上でのGl(m−n)の半単純スーパー表現の圏とどのように関係するか？
• RQ2 構成されたテンソル関手による最大特異的単純表現の像は何か？
• RQ3 最大特異的単純対象の像における既約表現の多重度は何か？そしてどのように計算できるか？
• RQ4 最大特異的既約スーパー表現のスーパー次元は、古典的表現論的データを用いて明示的に表現可能か？

主な発見

• Tにおける単純対象Vのφによる像が0であることは、Vが最大特異的でないことに同値である。
• 最大特異的単純対象に対して、φ(V) ≅ m(V) · ρ(V)[p(V)] が成り立つ。ここでm(V) > 0は多重度、p(V)は重みによって定まるパリティシフトである。
• 多重度は1 ≤ m(V) ≤ n! を満たし、特殊な場合に等号が成立しうる。
• 再帰的公式 m(μ) = (n choose n₁,…,nᵣ) · ∏ᵢ m(μᵢ) により、m(μ)が多項係数とより小さい多重度の積で表される。
• スーパー次元は sdim_k(V) = (−1)^p(V) · m(V) · dim_k(ρ(V)) で与えられ、dim_k(ρ(V)) はWeyl次元公式により計算可能である。
• 関手φは弱完全であり、コホモロジー六角形構造を通じて、グレーディングの意味で完全性を保存する。