[論文レビュー] Modeling and estimation of conditional excesses

Anne‐Laure Fougères, Philippe Soulier|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2008

Statistical Distribution Estimation and Applications被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、bivariate extremal における条件付き超過を推定するための統計的枠組みを提案する。これは、X > t の条件下での (X,Y) の極限的条件付き分布をモデル化し、極限的分布および正規化関数の正規化推定量を用いる。一貫性および関数的中心極限定理を確立することで、高次元の尾部領域における極端な条件付き分位数の信頼性のある推論が可能になる。

ABSTRACT

Let $(X,Y)$ be a bivariate random vector. The estimation of a probability of the form $P(Y\leq y \mid X >t) $ is challenging when $t$ is large, and a fruitful approach consists in studying, if it exists, the limiting conditional distribution of the random vector $(X,Y)$, suitably normalized, given that $X$ is large. There already exists a wide literature on bivariate models for which this limiting distribution exists. In this paper, a statistical analysis of this problem is done. Estimators of the limiting distribution (which is assumed to exist) and the normalizing functions are provided, as well as an estimator of the conditional quantile function when the conditioning event is extreme. Consistency of the estimators is proved and a functional central limit theorem for the estimator of the limiting distribution is obtained. The small sample behavior of the estimator of the conditional quantile function is illustrated through simulations.

研究の動機と目的

• t が大きいとき、特に極端な尾部領域において P(Y ≤ y | X > t) を推定する課題に対処すること。
• 適切な正規化のもとで、X > t の条件下での (X,Y) の極限的条件付き分布の一貫性のある推定量を開発すること。
• 極端な条件付き事象における条件付き分位数関数の推定量を構築すること。
• 提案された推定量についての一貫性および関数的中心極限定理を含む理論的保証を確立すること。

提案手法

• 極限的条件付き分布の存在を仮定し、非パラメトリックなアプローチを用いて X > t の下での (X,Y) の極限的条件付き分布を推定する。
• 経験分布関数および極値理論を用いて、正規化関数および極限的分布の推定量を導入する。
• 関数的中心極限定理を適用し、推定された極限的分布過程の漸近的分布を導出する。
• 極端な X の値を想定した条件下で、推定された極限的分布に基づく条件付き分位数関数推定量を開発する。
• 経験過程理論および弱収束技術を用いて、推定量の一貫性および漸近正規性を証明する。
• モンテカルロシミュレーションを通じて、条件付き分位数推定量の小標本性能を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 t が大きいとき、X > t の下での (X,Y) の極限的条件付き分布を一貫して推定する方法は何か？
• RQ2 提案された極限的分布の推定量の理論的性質（一貫性および漸近正規性など）は何か？
• RQ3 X > t の極端な尾部領域において、条件付き分位数関数を信頼性高く推定するにはどうすればよいか？
• RQ4 極端な条件付けのもとでの条件付き分位数推定量の有限標本挙動はいかなるものか？
• RQ5 正規化関数と極限的分布は、極値モデリングにおける有効な推論を保証するためにどのように相互作用するか？

主な発見

• 仮定されたモデル構造のもとで、極限的条件付き分布および正規化関数の推定量は一貫性を有する。
• 極限的分布推定量に対して関数的中心極限定理が確立され、条件付き分布関数全体に対する推論が可能になる。
• 条件付き分位数関数推定量は一貫性を示し、シミュレーションで示されるように小標本でも安定した性能を示す。
• 理論的枠組みは、直接推定が困難な極端な尾部領域における有効な統計的推論を支援する。
• シミュレーションスタディにより、中程度の標本サイズでも条件付き分位数推定量が妥当な精度を維持することが確認された。