[論文レビュー] Modeling and Optimal Control of Networks of Pipes and Canals

Rinaldo M. Colombo, Graziano Guerra+2 more|ArXiv.org|Feb 25, 2008

Navier-Stokes equation solutions参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非線形接続ダイナミクスを伴う双曲型保存則に従うパイプおよび水路ネットワークの最適制御の存在を確立する。初期境界値問題の適切性を証明し、距離空間における準微分方程式を用いて、ガスパイプラインや開放的水路流動のようなシステムの最適制御を導出し、物理的制約下でのエネルギー消費の最小化または溢流の防止を保証する。

ABSTRACT

This paper deals with the optimal control of systems governed by nonlinear systems of conservation laws at junctions. The applications considered range from gas compressors in pipelines to open channels management. The existence of an optimal control is proved. From the analytical point of view, these results are based on the well posedness of a suitable initial boundary value problem and on techniques for quasidifferential equations in a metric space.

研究の動機と目的

• 双曲型保存則に従う流体ネットワークの最適制御の一般的解析的枠組みを構築すること。
• 時間依存の結合条件を伴うネットワーク接続部における初期境界値問題の適切性を証明すること。
• ガスパイプラインや開放的水路のようなシステムにおける物理的に意味のあるコスト関数に対する最適制御の存在を確立すること。
• 滑らかでない解およびL¹空間内での有界 variation を持つ制御を許容することで、既存の結果を拡張すること。
• 単一の理論的構造において、ガスパイプライン圧縮および開放的水路流動管理の先行モデルを統合・一般化すること。

提案手法

• n 個の路線 l = 1,…,n に対して、双曲型保存則の系：∂ₜuₗ + ∂ₓfₗ(uₗ) = gₗ(t,x,uₗ) を用いてネットワーク上の流体動態をモデル化する。
• 制御入力を表す Π(t) を用いて、時間依存の接続条件 Ψ(u₁(t,0+),…,uₙ(t,0+)) = Π(t) を課す。
• 滑らかでない解および BV 制御を取り扱うために、距離空間における準微分方程式技法を適用する。
• フラックス関数および固有構造に関する仮定の下で、標準的なリーマン半群フレームワークを用いて適切性を確立する。
• リップシッツ連続なプロセス E を用いた時間離散化近似スキームを用いて、近似解を構築する。
• 源項の正則性（G）を活用し、L¹ および BV 空間におけるコンパクト性および収束の議論を用いて、最適制御の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形接続ダイナミクスを伴う双曲型保存則に従うパイプおよび水路ネットワークに対して、最適制御が存在する条件は何か？
• RQ2 接続条件が時間依存的かつ非線形的である場合、初期境界値問題の適切性はどのように確立できるか？
• RQ3 滑らかでない解および L¹ 空間内での有界変動を持つ制御を伴うシステムにおいて、最適制御を達成できるか？
• RQ4 提案された枠組みは、ガスパイプライン圧縮および開放的水路流動管理の既存モデルをどのように統合・一般化するか？
• RQ5 非局所的依存性を示す源項を取り扱い、近似解の収束を保証するために必要な解析的ツールは何か？

主な発見

• 非線形接続ダイナミクスを伴うネットワーク上での双曲型保存則に従うシステムに対して、最適制御の存在が証明された。
• フラックス関数および固有構造に関する標準的仮定（真正に非線形または線形に退化する場）の下で、初期境界値問題の適切性が確立された。
• 解プロセスは L¹ 範囲においてリップシッツ連続であり、小さな摂動に対しても制御系の安定性が保証された。
• この枠組みは滑らかでない解および有界変動を持つ制御を許容でき、従来の滑らかな解に限られた結果を拡張した。
• 解析的手法はガスパイプライン圧縮器および開放的水路流動システムの両方へ適用可能であり、低下ゲート制御や溢流防止を含む。
• エネルギー消費の最小化や水位の維持といった物理的に妥当なコスト関数ルールに対して、最適制御の存在が保証された。