[論文レビュー] Modeling financial assets without semimartingales

Rosanna Coviello, Francesco Russo|ArXiv.org|Jun 26, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、半マルティンゲール仮定を一般化されたマルティンゲール概念—A-マルティンゲール—に置き換えるファイナンスモデリングフレームワークを構築する。これにより、制限付き取引戦略下で半マルティンゲールでない価格過程を扱えるようになる。フォワード積分とA-マルティンゲールの微積分を用いて、内部者による効用最大化のための条件を確立し、価格過程が半マルティンゲールの性質を欠つ場合でも最適ポートフォリオが存在することを示している。特に、有界変動性または分数 Browm運動のダイナミクス下で顕著である。

ABSTRACT

This paper does not suppose a priori that the evolution of the price of a financial asset is a semimartingale. Since possible strategies of investors are self-financing, previous prices are forced to be finite quadratic variation processes. The non-arbitrage property is not excluded if the class ${\cal A}$ of admissible strategies is restricted. The classical notion of martingale is replaced with the notion of ${\cal A}$-martingale. A calculus related to ${\cal A}$-martingales with some examples is developed. Some applications to the maximization of the utility of an insider are expanded.

研究の動機と目的

• 価格過程が半マルティンゲールであると仮定しないファイナンス理論の構築を目的とする。
• 制限付き戦略クラス下で、古典的マルティンゲール概念をA-マルティンゲールに置き換えること。
• 非半マルティンゲールダイナミクスを示す市場における非アービタージュおよび効用最大化のための条件を確立すること。
• 非半マルティンゲール価格過程下でのインサイダー取引および効用最大化を分析すること。
• 既存の効用最大化結果を半マルティンゲール仮定を超えて一般化すること。

提案手法

• 非半マルティンゲール設定において、古典的マルティンゲールの代替としてA-マルティンゲールを導入する。
• 自己財務的ポートフォリオを定義するために、フォワード積分（記号 ∫ Y d−X で表記）を用いる。
• 非半マルティンゲールの積分因子を取り扱うために、正則化およびフォワード積分を用いた確率微積分を適用する。
• 半マルティンゲール性を要請せず、アドミッサブル戦略（クラスA）に制限を課すことで、アービタージュの排除を図る。
• A+-マルティンゲールおよびG-Brown運動の特徴付けを用いて、最適ポートフォリオの必要十分条件を導出する。
• 測度変換を用いて、Qπおよびpπ = EQπ[dP/dQπ | G·] を導入し、異なる確率測度下での期待効用を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 価格過程が半マルティンゲールであると仮定しない場合でも、非アービタージュ価格設定および効用最大化を達成できるか？
• RQ2 戦略クラスAにどのような条件を課すと、Sが半マルティンゲールでない場合でもアービタージュが排除されるか？
• RQ3 価格過程が有限二次変動過程（例えば、分数 Browm運動）である場合、どのようにして効用最大化を特徴付けられるか？
• RQ4 非半マルティンゲール市場において、非対称情報を持つインサイダーが最適ポートフォリオを持つための条件は何か？
• RQ5 戦略クラスが制限されている場合、有限期待効用が半マルティンゲール性を示すという古典的結果を回避できるか？

主な発見

• 仮定5.32のもとで、最適ポートフォリオπがA+に存在するための必要十分条件は、A−V −∫₀· πtd[A]t がQπ下でA+-マルティンゲールであることである。
• 対数効用関数の場合、測度QπはPと一致し、マルティンゲール条件が単純化される。
• A+が仮定Dを満たす場合、πが最適であることの必要十分条件は、A−V −∫₀· βtd[A]t がP下でG-マルティンゲールであることである。ここでβはpπおよびd[pπ,A]/d[A]を用いて定義される。
• 幾何的分数 Browm運動の例では、πが最適であることの必要十分条件は、Qπ下でW −∫₀· (rt−μt)/σ + πtσ dt がA+-マルティンゲールであることである。
• πが最適である場合、fW = W −∫₀· αtdt はP下でG-Brown運動である。ここでαはπσおよびドリフト補正項を含む。
• 最適ポートフォリオπの存在は、h(·,L) + ∫₀· (μ−r)/σ dt がΘ(L)に属することと同値であり、[18]における先行結果を一般化する。また、WのA+-半マルティンゲール性が鍵となる。