[論文レビュー] Modeling Linear Inequality Constraints in Quadratic Binary Optimization for Variational Quantum Eigensolver

Miguel Paredes Quiñones, Catarina Junqueira|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、線形不等式および等式制約を直接量子回路に埋め込むことで、妥当な解のみを探索するVariational Quantum Eigensolver (VQE)のための特化した変分回路（TVF）を提案する。制御回転とエンタングルメント構造を用いて制約を符号化することで、問題サイズに依存せずにパラメータ数を一定に保ち、回路の深さを低減し収束性を向上させる。Facility Location問題およびLinear Assignment問題において、2-LocalおよびQAOA手法と比較してゲート数を減らし、最適化が高速化されていることが実証された。

ABSTRACT

This paper introduces the use of tailored variational forms for variational quantum eigensolver that have properties of representing certain constraints on the search domain of a linear constrained quadratic binary optimization problem solution. Four constraints that usually appear in several optimization problems are modeled. The main advantage of the proposed methodology is that the number of parameters on the variational form remain constant and depend on the number of variables that appear on the constraints. Moreover, this variational form always produces feasible solutions for the represented constraints differing from penalization techniques commonly used to translate constrained problems into unconstrained one. The methodology is implemented in a real quantum computer for two known optimization problems: the Facility Location Problem and the Set Packing Problem. The results obtained for this two problems with VQE using 2-Local variational form and a general QAOA implementation are compared, and indicate that less quantum gates and parameters were used, leading to a faster convergence.

研究の動機と目的

• 近い将来の量子コンピュータ上で線形制約付き二次ブール最適化（LCQBO）問題を効率的に解く課題に対処すること。
• VQEにおける古典的最適化の計算コストを、妥当な解のみに探索空間を制限することで低減すること。
• 制約を内蔵的に満たす変分回路を構築することで、不適解に収束する可能性のあるペナルティ法の必要性を回避すること。
• 2-Local や QAOA といった標準的なVQEアーキテクチャと比較して、収束速度の向上と回路深さの低減を実証すること。
• 等式および不等式制約の特定のタイプを直接アーキテクチャに埋め込むための体系的な量子回路構築手法を提供すること。

提案手法

• 著者らは、等式、不等式、およびそれらの組み合わせの4つの一般的な制約タイプを、量子回路構造に直接埋め込む特化した変分回路（TVF）を設計した。
• 等式制約のためには、qubitブロックの和が1になる条件を満たすために、制御Ry回転とCNOTゲートを用いた。
• 不等式制約のためには、再帰的な制御回転とエンタングラー構造を用いて、変数の和の上限を表現し、回路全体を通して妥当性を維持した。
• 回転とエンタングラーの固定深さブロックを再利用することで、変数数に依存せず、1つの制約タイプあたりのパラメータ数を一定に保つ。
• TVFは2段階のプロセスで構築された：まずqubitを|0⟩に初期化し、次にRy(θ)回転とCNOTを適用して、制約境界を尊重する形でエンタングルメントを生成した。
• 本手法は、実量子ハードウェアを用いて、Facility Location問題とLinear Assignment問題の2つのベンチマーク問題に対して検証され、2-LocalおよびQAOA回路と比較された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LCQBO問題において、変分量子回路を設計して線形等式および不等式制約を内蔵的に満たすことは可能か？
• RQ2 アーキテクチャに制約を直接埋め込むことで、ペナルティ法に比べてパラメータ数と量子ゲート数を削減できるか？
• RQ3 制約に配慮した変分回路は、2-Local や QAOA といった汎用アーキテクチャと比較して、VQE最適化の収束速度を向上させられるか？
• RQ4 特化した変分回路を用いる場合と標準的アーキテクチャを用いる場合の、回路深さとパラメータ数のトレードオフは何か？
• RQ5 複雑なLCQBO問題を処理するため、複数の制約符号化ブロックを体系的に組み合わせる方法はあるか？

主な発見

• TVFアプローチは、構築の段階ですべての生成解が妥当であることを保証する。ペナルティ法とは異なり、不適解に収束する可能性がない。
• Linear Assignment Problem（LAP）では、TVFは4つのパラメータ、6つの単一qubit回転（SU(2)）、4つのCNOTゲートで実現され、2-Local（8パラメータ、14 SU(2)、3 CNOT）、QAOA（4パラメータ、24 SU(2)、8 CNOT）を上回った。
• COBYLAを用いた最適化で、TVFは45イテレーションで収束した。一方、QAOAと2-Localは、確率ヒストグラムと目的関数の推移から不適解に収束した。
• TVFはLAPインスタンスで最適目的値15に到達し、古典的最適値と一致した。他の手法は妥当性に到達できなかった。
• TVFはQAOAよりも総ゲート数とパラメータ数が少なく、2-Localと同等またはより優れたコスト効率（合計コスト46 vs. 2-Localの44）を達成した。
• 本手法は、制約に配慮したアーキテクチャ設計が、ヒルベルト空間の探索負荷を顕著に低減できることを示している。これにより、古典的最適化の効率が向上する。