[論文レビュー] Modeling of Nonlinear Dynamic Systems with Volterra Polynomials: Elements of Theory and Applications

A. S. Apartsyn, Svetlana Solodusha+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2013

Control Systems and Identification参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非線形動的システムにおけるボルテラカーネルの同定手法を、区分的定数のテスト信号の多パラメータ族を用いて提案する。これにより、熱交換プロセスのような複雑なシステムの正確なモデリングが可能となる。本手法は、第一種ボルテラ多項方程式を解くための重要なツールとしてラマヌジャン・ワイ関数（Lambert W function）を導入し、非線形力学における不適切な問題に対する理論的および計算的枠組みを前進させる。

ABSTRACT

The paper presents a review of the studies that were conducted at Energy Systems Institute (ESI) SB RAS in the field of mathematical modeling of nonlinear input-output dynamic systems with Volterra polynomials. The first part presents an original approach to identification of the Volterra kernels. The approach is based on setting special multiparameter families of piecewise constant test input signals. It also includes a description of the respective software; presents illustrative calculations on the example of a reference dynamic system as well as results of computer modeling of real heat exchange processes. The second part of the review is devoted to the Volterra polynomial equations of the first kind. Studies of such equations were pioneered and have been carried out in the past decade by the laboratory of ill-posed problems at ESI SB RAS. A special focus in the paper is made on the importance of the Lambert function for the theory of these equations.

研究の動機と目的

• 非線形入出力動的システムにおけるボルテラカーネルの同定のための堅牢な手法の開発。
• 第一種ボルテナ多項方程式における不適切な逆問題の挑戦への対処。
• ラマヌジャン・ワイ関数の理論的および計算的意義を、これらの方程式の解法に明確化すること。
• 参照システムおよび実際の熱交換プロセスにおけるシミュレーションを通じた手法の妥当性の検証。
• 提案された同定手法を実装するためのソフトウェアフレームワークの提供。

提案手法

• 本手法は、システムを励起し、ボルテラカーネル推定を抽出するために、特別に設計された多パラメータの区分的定数テスト入力信号を用いる。
• 非線形動的システムを入出力写像としてモデル化するためのボルテナ多項式展開に基づく数学的枠組みを採用する。
• 同定プロセスは、テスト信号への応答から導かれる方程式系を解くことで行われ、カーネル近似の誤差を最小化する。
• 理論的分析では、第一種ボルテナ多項方程式を解析的に解くためにラマヌジャン・ワイ関数を活用する。
• 数値計算およびシステム応答のシミュレーションを支援するための専用ソフトウェア実装が開発された。
• 合成された参照システムおよび現実の熱交換プロセスの両方について、コンピュータモデリングが実施され、手法の妥当性が検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造化されたテスト信号を用いて、非線形動的システムにおけるボルテラカーネルをどのように効果的に同定できるか？
• RQ2 ラマヌジャン・ワイ関数は、第一種ボルテナ多項方程式の解法において果たす役割は何か？
• RQ3 区分的定数テスト信号は、非線形システムにおけるカーネル同定の精度および安定性を向上させることができるか？
• RQ4 標準的手法と比較して、本手法は実際の熱交換プロセスのモデリングにおいてどのように性能を発揮するか？
• RQ5 特殊関数（例：ラマヌジャン・ワイ関数）を用いた不適切なボルテナ方程式の解法の理論的基盤は何か？

主な発見

• 提案された多パラメータの区分的定数テスト信号族は、非線形システムにおけるボルテラカーネルの安定的かつ高精度な同定を可能にする。
• ラマヌジャン・ワイ関数は、第一種ボルテナ多項方程式の解法に向けた重要な解析的アプローチを提供し、理論的進展を可能にする。
• 参照動的システムにおけるコンピュータシミュレーションにより、提案手法を用いたカーネル推定が高忠実度であることが示された。
• 実際の熱交換プロセスのモデリングでは、実験データと強い一致を示し、手法の実用的適用可能性が検証された。
• 開発されたソフトウェアフレームワークは、数値実装およびリアルタイムのシステム応答シミュレーションを成功裏に支援した。
• 本研究は、動的システムにおける不適切なボルテナ方程式の解法とラマヌジャン関数の間の新しい理論的関係を確立した。