[論文レビュー] Modeling shallow water waves

David Lannes|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Jan 27, 2020

Coastal and Marine Dynamics被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、垂直積分されたオイラー方程式における乱流的および非水圧項を分析することにより、非線形浅水域、ボウシネスク、およびセル・グリーン＝ナグディ方程式を含む、浅水域波動モデルの統一的漸近的導出を提示する。これらのモデルは渦度効果および地形の影響を含めるように拡張され、多層系および回転流体のための新しい定式化が提供され、波の崩壊や強い流れとの相互作用への応用が示される。

ABSTRACT

We review here the derivation of many of the most important models that appear in the literature (mainly in coastal oceanography) for the description of waves in shallow water. We show that these models can be obtained using various asymptotic expansions of the "turbulent" and non-hydrostatic terms that appear in the equations that result from the vertical integration of the free surface Euler equations. Among these models are the well-known nonlinear shallow water (NSW), Boussinesq and Serre-Green-Naghdi (SGN) equations for which we review several pending open problems. More recent models such as the multi-layer NSW or SGN systems, as well as the Isobe-Kakinuma equations are also reviewed under a unified formalism that should simplify comparisons. We also comment on the scalar versions of the various shallow water systems which can be used to describe unidirectional waves in horizontal dimension $d=1$; among them are the KdV, BBM, Camassa-Holm and Whitham equations. Finally, we show how to take vorticity effects into account in shallow water modeling, with specific focus on the behavior of the turbulent terms. As examples of challenges that go beyond the present scope of mathematical justification, we review recent works using shallow water models with vorticity to describe wave breaking, and also derive models for the propagation of shallow water waves over strong currents.

研究の動機と目的

• 海岸海洋学で用いられる主要な浅水域波動モデルの体系的かつ統一的な導出を提供すること。
• 古典的モデル（例：NSW、ボウシネスク、SGN）を、渦度および非平面地形を含めるように拡張し、物理的現実性を向上させること。
• 非線形分散系における波の崩壊、境界条件、特異性の生成といった、未解決の数学的問題に取り組むこと。
• 高次導関数を導入せずに数値的複雑性が低減され、垂直分解能が向上した新しい多層モデルおよびイソベ＝カキナマ型モデルを導入すること。
• 特に波の崩壊および強い流れ上を伝播する波動のモデリングにおいて、渦度が波動力学に果たす役割を調査すること。

提案手法

• 乱流的および非水圧項を特定する垂直積分された自由表面オイラー方程式から波動方程式を導出する。
• 浅水域領域（小さなアスペクト比μ）における漸近展開を適用し、体系的な近似モデルを導出する。
• 弱非線形性（ε ≪ 1）と高次展開を用いて、分散効果を保持するボウシネスクおよびセル・グリーン＝ナグディモデルを導出する。
• 高次導関数を避けるために、垂直速度および圧力構造をよりよく捉えるために多層形式を導入する。
• 底面勾配βおよび深さ依存補正を用いて、非平面地形を一般化した定式化を実施する。
• 渦度を強さパラメータαを介して組み込み、特にα = 1/2の特別な取り扱いにより強い回転効果をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乱流的および非水圧項に基づく統一的漸近的フレームワークから、浅水域モデルの全範囲をどのように導出できるか？
• RQ2 非線形浅水域およびボウシネスク型モデルに渦度を含めることの数学的および物理的意味は何か？
• RQ3 地形の変動は、特にセル・グリーン＝ナグディおよび多層形式において、浅水域モデルの導出および構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 スカラー型モデル（例：KdV、カマッサ＝ホルム）は、単一方向の波動伝播を記述する上で、どのような制限と可能性を有するか？
• RQ5 渦度を含む回転型浅水域モデルは、波の崩壊現象を数学的に正当化された枠組みとして提供できるか？

主な発見

• 乱流的および非水圧項を無視した場合、非線形浅水域（NSW）方程式が一次近似として導かれる。
• ボウシネスク系は弱非線形性のもとで導出され、特定の非水圧補正を通じて分散効果を保持する。
• セル・グリーン＝ナグディ（SGN）モデルは弱非線形性の仮定を必要とせず、高次分散および非線形効果を捕捉する。
• NSWおよびSGNモデルの多層拡張は、高次単層モデルに比べて垂直分解能を向上させるとともに、数値的剛性を低減する。
• イソベ＝カキナマモデルは、高次導関数を導入せずに、精度を向上させる実用的な代替手段であることが示された。
• 渦度効果は強さパラメータαを介して組み込まれ、α = 1/2の場合は強い回転流および波の崩壊ダイナミクスを捕捉する特異なスケーリングを示す。