[論文レビュー] Modelling Competitive Sports: Bradley-Terry-Élő Models for Supervised and On-Line Learning of Paired Competition Outcomes

Franz J. Király, Zhaozhi Qian|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2017

Sports Analytics and Performance参考文献 39被引用数 13

ひとこと要約

本論文は、Bradley-TerryおよびÉlőレーティングシステムの長所を統合する統一的教師あり学習フレームワーク—構造的ログオッズモデル—を提案する。このフレームワークにより、特徴量を用いたペア比較の結果の確率的予測が可能となり、バッチ学習およびオンライン学習が可能で、計算効率も維持される。英プレミアシップリーグのデータにおいて、最先端の予測性能を達成し、ベッティングオッズに非常に近い結果を示した。

ABSTRACT

Prediction and modelling of competitive sports outcomes has received much recent attention, especially from the Bayesian statistics and machine learning communities. In the real world setting of outcome prediction, the seminal Élő update still remains, after more than 50 years, a valuable baseline which is difficult to improve upon, though in its original form it is a heuristic and not a proper statistical "model". Mathematically, the Élő rating system is very closely related to the Bradley-Terry models, which are usually used in an explanatory fashion rather than in a predictive supervised or on-line learning setting. Exploiting this close link between these two model classes and some newly observed similarities, we propose a new supervised learning framework with close similarities to logistic regression, low-rank matrix completion and neural networks. Building on it, we formulate a class of structured log-odds models, unifying the desirable properties found in the above: supervised probabilistic prediction of scores and wins/draws/losses, batch/epoch and on-line learning, as well as the possibility to incorporate features in the prediction, without having to sacrifice simplicity, parsimony of the Bradley-Terry models, or computational efficiency of Élő's original approach. We validate the structured log-odds modelling approach in synthetic experiments and English Premier League outcomes, where the added expressivity yields the best predictions reported in the state-of-art, close to the quality of contemporary betting odds.

研究の動機と目的

• Bradley-TerryモデルとÉlőモデルを統合し、競技スポーツの試合結果予測のための単一の教師あり学習フレームワークを構築すること。
• 特徴量と構造的学習を用いて、勝ち、負け、ドロー、スコアの確率的予測を可能にすること。
• バッチ学習とオンライン学習の両方をサポートしつつ、計算効率とモデルの簡潔さを維持すること。
• ヒューリスティックなÉlőシステムの改善を図る。シンプルさと表現力の両方を保ちながら、原理的で統計的なモデルを提供すること。
• 合成データおよび実世界のイングランド・プレミアシップリーグの試合結果を用いて、モデルの性能を評価すること。

提案手法

• フレームワークは、低ランク行列分解の文脈でチームの強さを潜在ベクトルとして表現する構造的ログオッズモデルを採用する。
• チームのログオッズの差にロジスティックリンク関数を適用することで、試合結果の確率を定式化し、確率的分類を可能にする。
• 観測された結果の対数尤度に基づく確率的勾配降下法により、オンライン学習を実現し、リアルタイムでの更新が可能となる。
• 正則化を施した最尤推定により、バッチ学習を実現し、過学習を防ぐ。
• 特徴量（例：ホームアドバンテージ、チームの新規性）をログオッズ式の線形予測子として統合する。
• データが少ない状況での一般化を向上させるために、低ランク行列推定に核ノルム正則化を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒューリスティックなÉlőシステムと統計的に整合的なBradley-Terryモデルの間のギャップを、統一的モデルが埋め合わせられるか？
• RQ2 特徴量と構造的学習を組み込むことで、従来のレーティングシステムを上回る予測精度が達成できるか？
• RQ3 実世界のスポーツデータ（例：イングランド・プレミアシップリーグ）において、最先端の性能を達成できるか？
• RQ4 ベッティングマーケットのオッズと比較して、モデルの予測精度はどの程度か？
• RQ5 予測が本質的な予測不能性によって制限される状況において、試合結果に影響を与える主な要因は何か？

主な発見

• 構造的ログオッズモデルは、イングランド・プレミアシップリーグの試合結果に関して、現在の最先端の予測性能を達成した。
• モデルの予測は、現代のベッティングマーケットのオッズとほぼ同等の精度を示しており、高いキャリブレーションと信頼性を示している。
• 観察可能な予測因子として、チームの実力、ホームアドバンテージ、チームの新規性の3つが顕著に有意であった。他の要因の影響は限定的であった。
• 広範な特徴量の探索を行ったが、追加の影響力のある要因は特定されず、リーグに本質的な予測不能性が存在することが示唆された。
• バッチ学習およびオンライン学習の両方において、モデルの性能は安定しており、耐障害性とスケーラビリティを示した。
• 合成実験の結果、モデルは特に低ランクかつ正則化された設定で、元の構造を回復できることを確認した。