[論文レビュー] Modelling multivariate extreme value distributions via Markov trees

Shuang Hu, Zuoxiang Peng+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2022

Hydrology and Drought Analysis被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、上尾尾依存係数を用いて木構造を学習するプリム法を組み合わせ、高次元多変量極値分布を近似するための木構造的マーコフ確率場モデルを提案する。この手法により、希少事象の確率推定が効率的に行えるようになり、上ダニューブ川の流出データに応用することで、経験的値を上回る洪水確率推定が実証された。

ABSTRACT

Multivariate extreme value distributions are a common choice for modelling multivariate extremes. In high dimensions, however, the construction of flexible and parsimonious models is challenging. We propose to combine bivariate max-stable distributions into a Markov random field with respect to a tree. Although in general not max-stable itself, this Markov tree is attracted by a multivariate max-stable distribution. The latter serves as a tree-based approximation to an unknown max-stable distribution with the given bivariate distributions as margins. Given data, we learn an appropriate tree structure by Prim's algorithm with estimated pairwise upper tail dependence coefficients as edge weights. The distributions of pairs of connected variables can be fitted in various ways. The resulting tree-structured max-stable distribution allows for inference on rare event probabilities, as illustrated on river discharge data from the upper Danube basin.

研究の動機と目的

• 高次元多変量極値分布のための柔軟で単純なモデルを構築する課題に対処すること。
• マーコフ木構造を用いて未知の多変量極値分布の妥当な近似を構築すること。
• 複雑で高次元の依存構造における希少事象確率の効率的推論を可能にすること。
• 尾部依存測度を用いてデータから木構造を学習することで、グラフィカルモデルと極値理論を統合すること。
• 本手法の有効性を上ダニューブ流域の実世界の水文データに応用して示すこと。

提案手法

• 2変量極値分布を条件付き分布として用いて、木構造上のマーコフ確率場を構築する。
• 推定された上尾部依存係数またはケンドールのtau値から得られるエッジ重みを用いて、プリム法により最適な木構造を学習する。
• モーメント推定法、M推定法、またはk=65の重み付き最小二乗法を用いて、接続されたペアにヘスラー＝レイス分布をフィットさせる。
• 高しきい値（p=0.9）を超える超過分に一般化パレート分布（GPD）をフィットさせ、端末尾確率を推定する。
• マーコフ木の極限として全多変量極値分布を近似し、結合尾部事象の推論を可能にする。
• 得られたモデルを用いて、複数の観測所での洪水など希少事象の確率を計算・比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2変量極値分布に基づく木構造的マーコフ確率場は、高次元多変量極値分布を効果的に近似できるか？
• RQ2 ケンドールのtauや上尾部依存を用いて推定された尾部依存係数に基づくモデルは、極値の真の依存構造をどの程度正確に捉えられるか？
• RQ3 木構造モデルは、経験的推定値と比較して、希少事象確率の推定をどの程度改善するか？
• RQ4 モーメント法、M推定法、WLSなどの異なるフィッティング手法は、得られる極値モデルの精度にどのような影響を及えるか？
• RQ5 本手法は、実世界の水文データに効果的に応用可能で、河川網における結合洪水事象を予測できるか？

主な発見

• 木構造モデルは経験的洪水確率を一貫して過大評価しており、4番目、7番目、13番目の観測所における0.95分位数では8.44%の経験的値を上回る9.26%～9.72%の推定値を示した。
• 0.99分位数では、モデル推定値が2.53%～2.65%にのぼり、経験的1.88%を上回っており、結合極値事象の検出能力が向上していることが示された。
• GPDに基づく端末尾確率推定は、特に0.999分位数における13番目観測所で7.02%と高い尾部確率を示し、結合尾部確率の過大評価に寄与した。
• ケンドールのtauに基づくモデル（木 $ ilde{ au}^*$）は、上尾部依存係数に基づく木（$ ilde{ au}^*$）よりもわずかに低い推定値を示しており、依存係数の選択に敏感であることが示された。
• MM、M、WLSといった複数の推定推定法を用いた結果はほぼ同一であり、ヘスラー＝レイスフレームワーク内での推定手法の選択に対してモデルが頑健であることが示された。
• 本手法は、高次元の河川流出データにおける複雑な結合尾部行動を効果的に捉えており、洪水リスク評価における実用的有用性を示した。