[論文レビュー] Modelling share volume traded in financial markets

Vygintas Gontis|ArXiv.org|Jan 28, 2002

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、自己相同性を持つ時間系列を生成する一般化された離散的モデル（GDM）を提案し、$ S(f) \propto f^{-\beta} $ のパワースペクトル密度を有する Kaulakys-Meškauskas（KM）モデルを、自己回帰過程をAR(1)からAR(2)に拡張することで一般化する。GDMは、金融市場における取引量に観察される $ 1/f^{1/2} $ スペクトルを正確に再現でき、市場マイクロストラクチャー解析のデータ生成メカニズムとしての有効性を裏付ける。

ABSTRACT

A simple analytically solvable model exhibiting a 1/f spectrum in an arbitrarily wide frequency range was recently proposed by Kaulakys and Meskauskas (KM). Signals consisting of a sequence of pulses show that inherent origin of the 1/f noise is Brownian fluctuations of the average intervent time between subsequent pulses of the pulse sequence. We generalize the KM model to reproduce the variety of self-affine time series exhibiting power spectral density S(f) scaled as power of their frequency f. Numerical calculations with the generalized discrete model (GDM) reproduce power spectral density S(f) scaled as power of frequency 1/f^b for various values of b, including b =1/2 for applications in financial markets. The particular applications of the model proposed are related with financial time series of share volume traded.

研究の動機と目的

• 物理的根拠を持つ確率過程を用いて、金融市場における取引量の統計的性質をモデル化すること。
• KaulakysとMeškauskas（KM）が提示した解析的に解ける$1/f$ノイズモデルを一般化し、$ S(f) \propto f^{-\beta} $ の広範なパワーラウのスペクトルを再現すること。
• 一般化された離散的モデル（GDM）がAR(2)の再発生時間ダイナミクスを用いることで、実際の金融データに観察される$\beta = 1/2$のパワースペクトル密度を再現できることを示すこと。
• リトアニア証券取引所の実データと比較することで、モデルの妥当性を検証すること。

提案手法

• モデルは、$ I(t) = \sum_k q_k \delta(t - t_k) $ のパルス列を生成する。ここで$ t_k $は取引時刻、$ q_k $は取引量である。
• 取引間隔$ \tau_k = t_k - t_{k-1} $は、AR(2)確率過程に従う：$ \tau_k = \tau_{k-1} + \alpha(\tau_{k-1} - \tau_{k-2}) - \gamma(\tau_{k-1} - \overline{\tau}) + \sigma \varepsilon_k $。
• 離散的取引量$ V_r $は、固定時間間隔$ \tau_d $の間の$ I(t) $の積分により得られ、$ V_r = \sum_{k} q_k $（区間$ r $内のパルスに対応）となる。
• パワースペクトル密度$ S(f) $は、$ V_r $の離散フーリエ変換により計算され、$ f_s = (s-1)/T $、$ T = \tau_d n $ を用いる。
• 実データの$ \beta $スケーリングに一致させるために、パrameter $ \alpha, \gamma, \sigma, \overline{\tau} $ を調整してモデルをキャリブレーションする。
• 数値シミュレーションでは、5つの実現について$ S(f) $を平均化し、解析的予測と実データとを比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された確率的モデルは、金融取引量に観察される$ 1/f^{\beta} $パワースペクトル密度（$ \beta = 1/2 $）を再現できるか？
• RQ2 再発生時間プロセスをAR(1)からAR(2)に拡張することで、一般化された離散的モデル（GDM）におけるスペクトル指数$ \beta $を制御可能か？
• RQ3 GDMは、リトアニア証券取引所のインデックスLITINに観察される、長距離相関性をどの程度正確に再現できるか？
• RQ4 取引間隔の記憶性を持つ単純な確率過程によって、金融取引量系列における$ \beta = 1/2 $スケーリングが説明可能か？

主な発見

• AR(2)の再発生時間ダイナミクスを用いた一般化された離散的モデル（GDM）は、$ \beta = 1/2 $を含む、さまざまな$ \beta $におけるパワースペクトル密度$ S(f) \propto f^{-\beta} $ を正確に再現できた。
• パrameter $ \sigma = 0.0002 $、$ \overline{\tau} = 0.01 $、$ \alpha = 0.95 $、$ \gamma = 0.0002 $、$ \tau_d = 1 $ で行った数値シミュレーションでは、$ S(f) $に明確な$ f^{-1/2} $のべき則が観察され、解析的予測$ S(f) = 2 \times 10^3 / f^{1/2} $と一致した。
• GDMが生成した取引量時系列およびパワースペクトルは、リトアニア証券取引所インデックスLITINの実データとよく一致しており、$ S(f) \approx 700 / f^{1/2} $ の関係が得られた。
• モデルは、取引量の長距離相関が主に取引回数$ N_r $に起因しており、個々の取引量$ q_i $の時間的相関は弱いことを確認した。
• KMモデルのAR(2)への拡張は、広範な$ \beta $範囲で$ f^{-\beta} $ノイズを生成可能な調整可能なメカニズムを提供し、金融時系列への普遍的適用性を裏付けた。
• 単純なパrameterで$ \beta = 1/2 $を再現できることから、取引量における$ 1/f^{1/2} $ノイズは統計的奇異性ではなく、取引タイミングの記憶性に起因するものであると示唆された。