[論文レビュー] Models of expansions of N with no end extensions

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2008

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文では、Creature forcing を用いて、ℕ の部分集合の Borel かつ算術的に閉じた族 𝔹 ⊆ 𝒫(ℕ) を構成し、その族の非可算な拡張によって得られる ℕ のモデルが、任意の初等的終端拡張を持たないことを示している。主な貢献は、Ali Enayat が提起した『MacDowell-Specker 定理における可算性の必要性』という問いに対して、このようなモデルが非可算な定義可能述語を含んでも存在することを示すことによって、否定的な答えを与えることにある。

ABSTRACT

We deal with models of Peano arithmetic (specifically with a question of Ali Enayat). The methods are from creature forcing. We find an expansion of N such that its theory has models with no (elementary) end extensions. In fact there is a Borel uncountable set of subsets of N such that expanding N by any uncountably many of them suffice. Also we find arithmetically closed A with no definably closed ultrafilter on it.

研究の動機と目的

• MacDowell-Specker 定理における可算性の要請が、初等的終端拡張の存在に必要かどうかという、Ali Enayat の問いに答えること。
• ℕ の部分集合の Borel かつ算術的に閉じた族 𝔹 ⊆ 𝒫(ℕ) を構成し、その族の非可算なメンバーを用いて ℕ を拡張した場合、その結果得られる PA のモデルが初等的終端拡張を持たないことを示すこと。
• このような非可算な拡張の算術的閉包上に、定義可能に閉じた最小または 2-Ramsey 超フィルターが存在しないことを証明すること。
• このようなモデルの標準的システムが最小超フィルターを含まないことを確立し、PA のモデルの広範なモデル理論的性質と関連づけること。

提案手法

• 可算な初等部分構造 N* ≺ (H(χ), ∈) 上で Creature forcing を用いて、特定の定義可能性を持つ PA のモデルを構成すること。
• 各木が有限な段階を持ち、関係 <t によって整列されている木の族 T*ω の算術的閉包として、𝒫(ℕ) の部分集合である Borel 集合 𝔹 ⊆ 𝒫(ℕ) を定義すること。
• 木の構造 <t を用いて、定義可能な関数 gt と列 bt_i を定義し、それらを用いて算術的閉包上の超フィルターの振る舞いを分析すること。
• 無限の Δ-システム補題を用いて、Ct1 と Ct2 が有限交わりを持つような異なる t1, t2 を特定し、最小超フィルターの存在を否定する。
• 強制法と定義可能性の制約を用いて、任意の非可算集合 A′ ⊆ 𝔹 に対して、ar-cl(A′) 上に定義可能に閉じた最小超フィルターが存在しないことを示すこと。
• Shelah の [Sh:F834] における ℵ1-有界強制法の結果を活用し、所望の性質を満たす適切な一般化拡張が存在することを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℕ を非可算個の定義可能な部分集合で拡張した場合、その結果得られる PA のモデルが初等的終端拡張を持たないような拡張は存在するか？
• RQ2 算術的に閉じた ℕ の部分集合族を構成し、その算術的閉包上に最小または 2-Ramsey 超フィルターが存在しないようにすることは可能か？
• RQ3 ZFC は、族が非可算であっても、最小超フィルターを持たない算術的に閉じた族の存在を証明できるか？
• RQ4 非標準的 PA モデルの標準的システムが最小超フィルターを持たないことはあり得るか？ また、どのような強制法的手法がそのような性質を保証するか？
• RQ5 言語が非可算である場合に、Creature forcing が PA のモデルを構成する際に、終端拡張のないモデルを得るために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の非可算部分集合 A′ ⊆ 𝔹 に対して、Th(ℕ, A′) は初等的終端拡張を持たない Borel かつ算術的に閉じた集合 𝔹 ⊆ 𝒫(ℕ) が存在する。
• 任意の非可算 A′ ⊆ 𝔹 に対して、ar-cl(A′) 上に定義可能に閉じた最小超フィルターは存在しない。
• 族 𝔹 は、各々が有限な段階を持ち、<t によって整列されている木の族 T*ω の算術的閉包として構成される。
• ar-cl(A′) 上に最小超フィルターが存在しないことは、定義可能な集合 Ct1 と Ct2 の交わりが有限であるという矛盾を用いて証明されるが、両者とも同じ超フィルターに属している。
• 非可算な A′ に対して得られるモデル Th(ℕ, A′) は、その標準的システム上に 2.5-Ramsey 超フィルターが存在せず、したがって共終的最小拡張が存在しない。
• この構成により、任意の such モデル N に対して StSy(N) に最小超フィルターが存在しないことが保証され、Enayat の共終的最小拡張に関する予想に関連する問題が解決される。