[論文レビュー] Models of Finsler Geometry on Lie algebroids

E. Peyghan|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、延長と水平.liftを用いて、リー代数群上のフィン슬ァー幾何学の包括的枠組みを構築する。特徴的な接続、半射影、曲率の概念を導入し、アーカイブ写像に基づく共変微分と完全列を用いて、古典的フィン슬ァー幾何学をリー代数群の文脈へ拡張する。保守的自己準同型と適合接続を持つフィン슬ァー・リー代数群構造は、特定の torsion および曲率条件によって特徴づけられる一般化されたベルワルドおよびワーグナー・リー代数群を生じさせることを確立する。

ABSTRACT

Horizontal endomorphisms, almost complex structures, vertical, horizontal and complete lifts on prolongation of a Lie algebroid are considered. Then using exact sequences, semisprays are constructed. Moreover, important geometrical objects such as classical distinguished connections, torsions and partial curvatures are studied on prolongation of Lie algebroids. Considering pullback bundle, covariant derivatives are scrutinized based on anchor map. Several Finsler geometry models on Lie algebroid structures, will organized via recent arguments. Finally, it will be overhaulled some special Finsler Lie algebroid spaces.

研究の動機と目的

• 接続、曲率、半射影などの概念を拡張することで、フィン슬ァー幾何学をリー代数群構造へ一般化すること。
• リー代数群の延長上に特徴的な接続（ベルワルド型、ヤーノ型）を定義し、それらを研究すること。
• 引き戻しバンドルとアーカイブ写像を用いて、$\rho_{\backslash \text{pounds}}$-共変微分を導入し、それらを分析すること。
• torsion および曲率条件を通じて、一般化されたベルワルドおよびワーグナー・リー代数群を特徴づけること。
• リー代数群の文脈において、カルタンテンソル、バートエル自己準同型、ドーソンテンソルといったフィン슬ァー幾何的対象を統一すること。

提案手法

• リー代数群 $E$ の延長 $\pounds^{\pi}E$ を用いて、完全列を通じて半射影および垂直・水平の.liftを構成する。
• 幾何的分解を定義するため、$\pounds^{\pi}E$ 上に水平自己準同型とほぼ複素構造を導入する。
• $\pounds^{\pi}E$ 上に特徴的な接続（ベルワルド型、ヤーノ型）を定義し、それらの torsion および曲率テンソルを計算する。
• アーカイブ写像を用いて、$\pi^*\pi$ 上に $\rho_{\pounds}$-共変微分を構成し、標準的な共変微分を一般化する。
• 一般化されたフロリッヒァー＝ニエンハイズ括弧を用いて、リー代数群上での微分作用素およびそれらの関係を研究する。
• 引き戻しバンドルとアーカイブ写像誘導の微分を用いて、保守的自己準同型を定義し、それらの幾何的意味を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 延長と水平.liftを用いて、フィン슬ァー幾何学をリー代数群構造へ体系的に拡張する方法は何か？
• RQ2 フィン슬ァー・リー代数群が一般化されたベルワルド・リー代数群であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 フィン슬ァー・リー代数群の接続 $\nabla$ の torsion および曲率テンソルは、元のリー代数群構造とどのように関係しているか？
• RQ4 $\pi^*\pi$ 上の $\rho_{\pounds}$-共変微分は、フィン슬ァー幾何学における古典的共変微分をどのように一般化するか？
• RQ5 スプライトおよび接続の観点から、ワーグナー・リー代数群を特徴づける幾何的条件は何か？

主な発見

• 保守的自己準同型 $h_{\nabla}$ を持つフィン슬ァー・リー代数群は、接続 $\nabla$ の弱 torsion が $t_{\nabla}(\delta_{\mu}, \delta_{\alpha}) = (\rho^{i}_{\mu} \circ \pi) \frac{\partial(f \circ \pi)}{\partial \textbf{x}^{i}} \mathcal{V}_{\alpha} - (\rho^{i}_{\alpha} \circ \pi) \frac{\partial(f \circ \pi)}{\partial \textbf{x}^{i}} \mathcal{V}_{\mu}$ を満たすとき、かつそのときに限り、一般化されたベルワルド・リー代数群である。
• 一般化されたベルワルド・リー代数群における接続 $\nabla$ の torsion は、アーカイブ写像と関数 $f$ に起因し、バートエル自己準同型に関して $t^\beta_{\mu\alpha} = 0$ である。
• ワーグナー・リー代数群のスプライト $S_{\nabla}$ は、$S_{\nabla} = S_{\circ} + f^c C - 2\mathcal{F} \text{grad} f^\vee$ を満たし、これによりベーススプライトと関数 $f$ とが関連づけられる。
• ワーグナー・リー代数群における接続 $\nabla$ の torsion は、$T_{\nabla}(e_{\mu}, e_{\alpha}) = d^E f(e_{\mu}) e_{\alpha} - d^E f(e_{\alpha}) e_{\mu}$ で与えられ、$f$ の微分に依存することが示される。
• $\pounds^{\pi}E$ 上に保守的自己準同型 $h_{\nabla}$ が存在することは、接続 $\nabla$ がフィン슬ァー構造と適合し、一般化されたベルワルド条件を満たすことを示唆する。
• 一般化されたベルワルド・リー代数群条件は、ベルワルド自己準同型のドーソンテンソルの消滅と同値であり、特定の曲率整合性を保証する。