[論文レビュー] Models of Markov processes with a random transition mechanism

Ya. I. Belopolskaya, Yuri Suhov|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2015

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、環境と基本過程が非可換な作用素によって構成される結合生成作用素を通じて、お互いに動的に影響し合うランダム環境下における連続時間マーカフ過程の新規構成を提案する。主な貢献は、このような系に対して不変測度を導出する一般的手法を提供することであり、ジャクソンネットワーク、排他過程、スイッチング型ドリフトおよびボラティリティを伴う拡散モデルなどの例を通じて検証され、積型または解析的に取り扱いやすい平衡分布が得られる。

ABSTRACT

The paper deals with a certain class of random evolutions. We develop a construction that yields an invariant measure for a continuous-time Markov process with random transitions. The approach is based on a particular way of constructing the combined process, where the generator is defined as a sum of two terms: one responsible for the evolution of the environment and the second representing generators of processes with a given state of environment. (The two operators are not assumed to commute.) The presentation includes fragments of a general theory and pays a particular attention to several types of examples: (1) a queueing system with a random change of parameters (including a Jackson network and, as a special case: a single-server queue with a diffusive behavior of arrival and service rates), (2) a simple-exclusion model in presence of a special `heavy` particle, (3) a diffusion with drift-switching, and (4) a diffusion with a randomly diffusion-type varying diffusion coefficient (including a modification of the Heston random volatility model).

研究の動機と目的

• 環境と基本過程が共に進化する連続時間マーカフ過程の普遍的構成法の開発。
• 環境の生成作用素と基本過程の生成作用素が非可換である場合において、組み合わせ過程 (Z(t), X(t)) が適切に定義された不変測度を有する条件の確立。
• 特にキューイングおよび拡散モデルにおいて、ランダム遷移機構を有する系への積型平衡分布理論の拡張。
• スイッチングダイナミクスを有するモデル（例：ランダムボラティリティまたはドリフトを伴う拡散）に適用可能な一般フレームワークの提供、および不変測度と弱不変性方程式との関連の確立。
• 逆問題の探求：与えられた確率過程が、本手法によって構築された組み合わせマーカフ過程の射影として表現可能かどうかの検討。

提案手法

• 環境の進化と固定環境下での基本過程の進化に対応する2つの非可換作用素の和として、組み合わせ生成作用素 R を構成する。
• 環境の不変測度 υ と基本過程の不変測度 ν^(z) を用いた積型表現を用いて、相互依存性を捉える乗法的要因 m(z,x) を補正として含めた不変測度 κ を定義する。
• 弱不変性方程式（WIEs）を用いて、不変測度 κ を形式的に特徴づけ、テスト関数 φ に対して Rφ が κ に関してバランスするように保証する。
• 具体的なモデルへの適用：パラメータがランダムに変化するジャクソンネットワーク、重い粒子を伴う排他過程、スイッチングドリフトまたはランダムボラティリティを伴う拡散過程。
• Feller性および R が生成する半群の存在を保証するため、境界条件（例：z=0 でのノイマン条件）と定義域制限を導入する。
• 特に拡散および反射を伴う場合に、弱い意味で必要なバランス条件を満たすことを確認することで、κ の不変性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環境が固定ではなく、動的に影響し合う場合に、ランダム遷移機構を有する連続時間マーカフ過程を構成可能か？
• RQ2 環境の生成作用素と基本過程の生成作用素が非可換である場合に、組み合わせ過程 (Z(t), X(t)) が一意な不変測度を有する条件は何か？
• RQ3 ジャクソンネットワークや重い粒子を伴う排他過程のようなランダム遷移を伴う系において、積型不変測度が保存可能か？
• RQ4 スイッチングドリフトまたはランダムボラティリティを伴う拡散過程に対して、不変測度を明示的に構成可能か？（例：修正されたヘストンモデル）
• RQ5 与えられた確率過程が、本手法によって構築された組み合わせマーカフ過程の射影として表現可能か？（逆問題の解法を含む）

主な発見

• 有限集合 Z 上をマーカフ過程として進化するパラメータ (λ, μ, P) を伴うジャクソンネットワークにおいて、組み合わせ過程は修正された積型不変測度を有し、正規化により適切な平衡分布が得られる。
• 重い粒子を伴う単純排他モデルでは、組み合わせ過程の平衡分布も依然として積型構造を保ち、本構成法の頑健性を示している。
• ドリフトがスイッチングする拡散過程では、不変測度 κ が κ(dz,dx) = z^{2ab−1} e^{−2az − x²/z²} dx dz で与えられ、生成作用素 R はこの測度を保存するように明示的に構成される。
• ランダムボラティリティを伴うヘストン型モデルでは、不変測度が κ(dz,dx) = z^{2ab−1} e^{−2az − x²/z²} dx dz として導出され、生成作用素 R はオーナイシュタイン＝ウーレンの運動と環境のフィードバック（指数関数的要因を介して）を統合する。
• 本手法により、測度 κ に対して弱不変性方程式が満たされ、境界条件（例：z=0 でのノイマン条件）および定義域制限のもとで Feller 半群の存在が保証され、過程のパスワイズ存在が示唆される。
• 構成法は、結合係数 m(z,x) が小さい場合に生成作用素の係数が増大するが、不変測度 κ は依然として適切に定義されることを示しており、標準的条件より弱い仮定のもとでの存在定理の可能性を示唆している。