[論文レビュー] Models of on-line social networks

Anthony Bonato, Noor Hadi+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2013

Complex Network Analysis Techniques参考文献 35被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、オンライン・ソーシャル・ネットワーク（OSN）における反復的局所的推移性（Iterated Local Transitivity; ILT）モデルを提案する。新しいノードは各時刻ステップで既存ノードの閉近傍をクローンすることで生成され、密度増加のべき乗則、平均距離の減少、高いクラスタリング、および低効率な拡張性を示すグラフを生成する。これは現実のOSNと類似しており、共撲数や支配数、自己同型群構造といった構造的不変量も保持する。

ABSTRACT

We present a deterministic model for on-line social networks (OSNs) based on transitivity and local knowledge in social interactions. In the Iterated Local Transitivity (ILT) model, at each time-step and for every existing node $x$, a new node appears which joins to the closed neighbour set of $x.$ The ILT model provably satisfies a number of both local and global properties that were observed in OSNs and other real-world complex networks, such as a densification power law, decreasing average distance, and higher clustering than in random graphs with the same average degree. Experimental studies of social networks demonstrate poor expansion properties as a consequence of the existence of communities with low number of inter-community edges. Bounds on the spectral gap for both the adjacency and normalized Laplacian matrices are proved for graphs arising from the ILT model, indicating such bad expansion properties. The cop and domination number are shown to remain the same as the graph from the initial time-step $G_0$, and the automorphism group of $G_0$ is a subgroup of the automorphism group of graphs generated at all later time-steps. A randomized version of the ILT model is presented, which exhibits a tuneable densification power law exponent, and maintains several properties of the deterministic model.

研究の動機と目的

• 現実のネットワークで観察される主要な経験的性質を捉える決定的モデルを構築すること。
• ネットワーク進化における推移性と局所的知識を組み込むことで、従来のモデルの限界を克服すること。
• モデルが密度増加のべき乗則、減少する平均距離、および高いクラスタリングを示すグラフを生成することを証明すること。
• 正規化ラプラシアン行列および隣接行列のスペクトル特性、特にスペクトルギャップを分析し、低効率な拡張性を示すこと。
• 密度増加のべき乗則指数を調整可能なランダム化バージョンを提案し、コアな構造的性質を維持すること。

提案手法

• ILTモデルは、各時刻ステップで既存ノードの閉近傍をクローンすることで新規ノードを生成し、ネットワーク形成における推移性を保証する。
• モデルはベースグラフ $ G_0 $ で初期化され、各ステップ $ t $ において $ G_{t-1} $ のすべてのノードが、その閉近傍に接続された新しいノードを生成する。
• グラフの体積の進化は再帰関係を用いて分析され、$ { m vol}(H_t) = 3{ m vol}(H_{t-1}) + 2^t + \text{random edges} $ と表され、ここでランダムエッジは確率 $ p(2^t) $ で追加される。
• チェルノフ不等式を用いた集中不等式により、体積が $ (1+o(1))(3+ au)^t $ のように成長することが示され、ランダム摂動に対して安定であることが保証される。
• スぺクトルギャップの境界は、補題2.6を用いて導出され、スぺクトルギャップが頂点集合の体積およびエッジ拡張性に関連していることが示され、$ ilde{ au}(T) = ilde{ au}(1) $ が得られ、低効率な拡張性を示している。
• ランダム化されたバージョン、ILT($ p $) は確率 $ p(2^t) $ でランダムエッジを追加し、密度増加のべき乗則指数を調整可能にしている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 推移性と局所的知識に基づく決定的モデルが、現実のオンライン・ソーシャル・ネットワークの主要構造的性質を再現できるか？
• RQ2 ILTモデルは、時間の経過とともに密度増加のべき乗則と平均距離の減少を示すグラフを生成するか？
• RQ3 正規化ラプラシアン行列および隣接行列のスペクトル特性、特にスぺクトルギャップは、ILTモデルで生成されるグラフにおいてどのように振る舞うか？
• RQ4 共撲数、支配数、自己同型群といった構造的不変量が、ILTモデルの時間経過に伴ってどの程度維持されるか？
• RQ5 ランダム化されたILTモデルのバージョンは、決定的モデルの主要な性質を維持しながら、密度増加のべき乗則指数を調整可能にできるか？

主な発見

• ILTモデルは、指数 $ a \to \frac{\tau}{3+\tau} $ を持つ密度増加のべき乗則を満たすグラフを生成する。ここで $ \tau $ は調整可能なパラメータである。
• ILTモデルにおける平均距離および直径は、時間に依存しない定数以上に上界で抑えられており、距離が減少または安定していることを示している。
• ILTで生成されたグラフのクラスタリング係数は、同じ平均次数を持つランダムグラフと比較して顕著に高い。
• 正規化ラプラシアン行列のスぺクトルギャップは $ \tilde{\tau}(T) = \tilde{\tau}(1) = \tilde{\tau}(1) $ であり、現実のネットワークと一致する低効率な拡張性を示している。
• 共撲数および支配数は、すべての時刻ステップにおいて初期グラフ $ G_0 $ と同一のまま維持される。
• 初期グラフ $ G_0 $ の自己同型群は、すべての後続グラフ $ G_t $ の自己同型群の部分群として保持され、対称性が保たれている。