[論文レビュー] Models of some cardinal invariants with large continuum

Diego A. Mejía|arXiv (Cornell University)|May 21, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、連続体が ℵ₂ より大きい（すなわち、連続体が非常に大きい）モデルを構成し、さまざまな連続体の基数不変量——たとえば add(𝒩)、cov(𝒩)、p、non(𝒫)、cov(𝒫)、d、non(𝒩)、および 𝔠——が任意の正則な値をとるようにする。有限再帰的反復と行列反復技術を用いて、Cichonの図に含まれない不変量（例：𝔰 と 𝔯）を含む、これらの不変量の任意の整合的値を達成するための既存の手法を拡張する。

ABSTRACT

We extend the applications of the techniques used in Arch Math Logic 52:261-278, 2013, to present various examples of consistency results where some cardinal invariants of the continuum take arbitrary regular values with the size of the continuum being bigger than $\aleph_2$.

研究の動機と目的

• 連続体が ℵ₂ より大きいモデルを構築し、特定の基数不変量が任意の正則値をとるように強制法の手法を拡張すること。
• Cichonの図に含まれない不変量（例：𝔰 と 𝔯）について、任意の正則値が整合的であることを扱うこと。
• 一般化された保存結果を用いて、強制拡張における基数不変量の下界および上界の保存を調査すること。
• 行列反復構成における不変量（例：𝔲 と 𝔯）の制御が可能な限界および条件を調査すること。
• このようなモデルにおいて、𝔲 と 𝔯 が特定の値をとることの可能性に関する未解決の問題を同定すること。

提案手法

• Blass と Shelah が導入した [8] の有限再帰的反復（fsi）技術および行列反復法を用いる。
• Cohen (𝓒)、ランダム (𝓑)、Hechler (𝓓)、最終的に異なる実数 (𝓔)、およびフィルター基底を伴う Mathias 強制 (𝓜𝓕) などの強制概念を用いる。
• 第2節の保存結果を適用して、強制拡張を通じて不変量の境界を維持する。
• 各段階で特定の強制条件を持つ、次元 𝜅 × 𝜅𝜈 の行列反復を構成し、部分順序およびフィルター基底の名前の列によってパラメータ化する。
• 反復 𝔼_{𝜅,𝜆𝜅𝜈} を用いて、add(𝒩) = 𝜇₁、cov(𝒩) = 𝜇₂、p = non(𝒫) = 𝜈、d = 𝜅、non(𝒩) = 𝔠 = 𝜆 といった不変量を制御する。
• Laver 強制と超フィルターを用いた補題 2.25 を適用して、フレームワークを新しい強制の文脈に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列反復法を拡張して、連続体が大きなモデルにおいて 𝔰 = 𝜅 または 𝔯 = 𝜅 を達成できるか？
• RQ2 定理 4.5 の整合的結果において、𝔡 = 𝜅 の代わりに 𝔲 = 𝜈 を達成することは可能か？
• RQ3 補題 2.23 が関係 ⊥（ピッチフォーク）についても成り立つと仮定すれば、新しい構成における 𝔰 と 𝔯 の制御が可能になるか？
• RQ4 Laver 強制を用いて、連続体が大きなモデルにおいて 𝔲 = 𝜅 または 𝔲 = 𝜆 を達成できるか？
• RQ5 強制概念 𝓑 と 𝓓 が列に cofinally に現れる場合、行列反復法の限界は何か？

主な発見

• モデル 𝑉_{𝜅,𝜆𝜅𝜈} において、add(𝒩) = 𝜇₁、cov(𝒩) = 𝜇₂、p = non(𝒫) = 𝜈、cov(𝒫) ≥ 𝜈 が成り立つ。
• 支配数は 𝔡 = 𝜅 であり、連続体は ℵ_𝜆 であり、non(𝒩) = 𝔠 = 𝜆 である。
• 超フィルター数は 𝔲 ≤ 𝜈 であり、Mathias 実数の列が超フィルターを生成することで実現される。
• このモデルは、𝜆 における一般化連続体仮説（GCH_𝜆）を満たす。
• 構成により、不変量の値が保存され、任意の正則な値に割り当てられる。
• 反復法は ( +_{𝓑,∝} ) の保存に失敗するため、𝔯 = 𝜅 を達成できない。これは、このようなモデルにおける 𝔯 の制御が制限されることを意味する。