[論文レビュー] Models with time-dependent parameters using transform methods: application to Heston's model

Alberto Elices|ArXiv.org|Aug 15, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、Hestonの確率的ボラティリティモデルを含むアフィンジャンプ・ディフュージョンモデルに時間に依存するパラメータを組み込むための変換に基づく手法を提案する。この手法は解析的扱いやすさを維持したまま、ボラティリティ・サーフェスへのキャリブレーションをブートストラップ法により可能にし、フォワード・スタート・オプションの解析的価格評価を可能にする。ユーロストックス50インデックスの事例研究では、フォワード・スケューのダイナミクスが明らかになった。

ABSTRACT

This paper presents a methodology to introduce time-dependent parameters for a wide family of models preserving their analytic tractability. This family includes hybrid models with stochastic volatility, stochastic interest-rates, jumps and their non-hybrid counterparts. The methodology is applied to Heston's model. A bootstrapping algorithm is presented for calibration. A case study works out the calibration of the time-dependent parameters to the volatility surface of the Eurostoxx 50 index. The methodology is also applied to the analytic valuation of forward start vanilla options driven by Heston's model. This result is used to explore the forward skew of the case study.

研究の動機と目的

• 時間に依存するパラメータをアフィンモデルに拡張しつつ、解析的扱いやすさを維持すること。
• 変換手法を用いて時間に依存するパラメータのキャリブレーションフレームワークを構築すること。
• 時間に依存するHestonモデル下でのフォワード・スタート・オプションの解析的価格評価を可能にすること。
• キャリブレートされた時間に依存するパラメータを用いてフォワード・スケューのダイナミクスを分析すること。
• 本手法を実市場データ、特にユーロストックス50インデックスに適用すること。

提案手法

• 時間に依存するパラメータを含むモデルにおける解析的扱いやすさを維持するために、特性関数変換を用いる。
• 時間に依存するパラメータを観測されたオプション・プライスに適合させるために、再帰的ブートストラップ法を適用する。
• Hestonのモデルにおける時間に依存するボラティリティおよび平均回帰を扱えるように、特性関数形式を拡張する。
• 変換手法を用いて、時間に依存するパラメータ下での特性関数の閉形式表現を導出する。
• オプション・プライスを効率的に計算するために、逆フーリエ変換を用いる。
• 時間に依存するパラメータをユーロストックス50のボラティリティ・サーフェスにフィットさせることで、市場データを用いた手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hestonのモデルに時間に依存するパラメータを導入しても、解析的扱いやすさを失わないか？
• RQ2 時間に依存するパラメータをインプライド・ボラティリティ・サーフェスに効率的にキャリブレートする方法は何か？
• RQ3 時間に依存するパラメータは、フォワード・スタート・オプションの価格にどのような影響を与えるか？
• RQ4 時間に依存するHestonダイナミクス下でフォワード・スケューはどのように変化するか？
• RQ5 提案手法は、市場で観測されたボラティリティ・サーフェスを正確に再現できるか？

主な発見

• 特性関数の操作を用いることで、時間に依存するパラメータを含むHestonモデルにおいても、解析的扱いやすさが明確に保持された。
• ブートストラップ法により、ユーロストックス50のボラティリティ・サーフェスへの時間に依存するパラメータの安定的かつ効率的なキャリブレーションが可能になった。
• モデルは、ユーロストックス50インデックスのインプライド・ボラティリティ・サーフェスの期間構造およびスケューを正確に捉えた。
• 導出された特性関数を用いることで、時間に依存するHestonモデル下でのフォワード・スタート・オプションを解析的に価格評価できるようになった。
• キャリブレートされたモデルは顕著なフォワード・スケューを示しており、市場観測と整合的であった。
• 本手法は、確率的金利、ジャンプ、および確率的ボラティリティを含むハイブリッドモデルへも拡張可能である。