[論文レビュー] Moderate deviations for the eigenvalue counting function of Wigner matrices

Hanna Doering, Peter Eichelsbacher|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 23被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、Wigner行列の固有値数関数に対する中程度偏差原理（MDP）を確立し、GUEの微細な分散漸近挙動とFour Moment Theoremを用いて、従来の中心極限定理の範囲を超えて中程度偏差を拡張する。主な結果は、4次モーメントまで一致する広範なクラスのWigner行列および共分散行列に対して、MDPの普遍性を示し、レート関数が $ x^2/2 $、スピードが $ a_n^2 $ である。ここで $ 1 \ll a_n \ll \sqrt{\log n} $ である。

ABSTRACT

We establish a moderate deviation principle (MDP) for the number of eigenvalues of a Wigner matrix in an interval. The proof relies on fine asymptotics of the variance of the eigenvalue counting function of GUE matrices due to Gustavsson. The extension to large families of Wigner matrices is based on the Tao and Vu Four Moment Theorem and applies localization results by Erdös, Yau and Yin. Moreover we investigate families of covariance matrices as well.

研究の動機と目的

• 中心極限定理の範囲を超えて、Wigner行列の固有値数関数に対する中程度偏差原理（MDP）を確立すること。
• 普遍性の原則を用いて、Gaussian Unitary Ensemble（GUE）行列に基づくMDP結果を、4次モーメントまで一致する非ガウス型Wigner行列へ拡張すること。
• モーメントマッチングとスペクトル局在化を用いて、Laguerreエンsembles（LUE/LOE）を含む共分散行列へMDPを一般化すること。
• 4次モーメントマッチング条件の下で、異なる行列アンサンブルにおける固有値統計のMDPの普遍性を示すこと。

提案手法

• Gustavssonおよび先行研究によるGUE固有値数関数の微細な漸近的分散結果を活用する。
• Tao-VuのFour Moment Theoremを適用し、4次モーメントまで一致する非ガウス型Wigner行列に対し、GUEに基づくMDPを拡張する。
• Erd\'os, Yau, and Yinの局在化結果を用いて、半円法の内部における固有値の揺らぎを制御する。
• テイラー展開と積分近似を用いて、縮小する区間における固有値の期待数を導出し、MDPのスピードとレート関数を求める。
• 内部における個々の固有値のMDPを確立し、収束の議論を用いてそれを数え上げ関数へと拡張する。
• インターリービング公式とモーメントマッチングの普遍性を用いて、共分散行列（LUE/LOE）へ結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心極限定理の範囲を超えて、Wigner行列の固有値数関数に対する中程度偏差原理（MDP）は成立するか？
• RQ2 GUE行列のMDPは、4次モーメントまで一致する非ガウス型Wigner行列へ普遍的に拡張可能か？
• RQ3 半円法の内部における固有値数関数のMDPのレート関数とスピードは何か？
• RQ4 LUEやLOEなどの共分散行列へMDPを拡張可能か？また、モーメントマッチングの下で普遍的か？
• RQ5 数え上げ関数のMDPは、内部における個々の固有値のMDPから導出可能か？

主な発見

• GUEの固有値数関数に対するMDPは、$ a_n^2 $ のスピードとレート関数 $ x^2/2 $ で成立し、$ 1 \ll a_n \ll \sqrt{\log n} $ である。区間 $ I_n = [t_n, \infty) $ に対して $ t_n \to t \in (-2,2) $ である。
• GUEにおいて、このような区間における数え上げ関数の分散は漸近的に $ \frac{1}{2\pi^2} \log n (1 + o(1)) $ に収束し、これによりMDPの導出が可能になる。
• 半円法の内部における個々の固有値のMDPは、同じレート関数 $ x^2/2 $ を持つことが、局所的固有値統計を用いて確立された。
• Four Moment Theoremにより普遍性が保証され、4次モーメントまでGUEと一致するすべてのWigner行列に対して、数え上げ関数のMDPが成立する。
• 共分散行列（LUE）に対し、同じレート関数 $ x^2/2 $ と同一のスケーリング $ a_n $ でMDPが成立し、$ t_n \to t \in (\alpha, \beta) $ となる区間 $ I_n = [t_n, \infty) $ に対して成立する。
• 実共分散行列（LOE）に対し、インターリービング公式と実数版のFour Moment Theoremを用いてMDPを拡張するが、LOEの完全な剛性定理は仮定しない。