[論文レビュー] Moderate deviations for the volume of the Wiener sausage

M. van den Berg, Erwin Bolthausen+1 more|ArXiv.org|Mar 1, 2001

Numerical methods in inverse problems参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$d \geq 3$ および $d=2$ におけるウィーナー・サーキュラスの体積に関する中程度偏差原理を確立し、$t \to \infty$ の際に確率 $P(|W^a(t)| \leq bt)$ の指数的減衰を支配するレート関数 $I^{\kappa_a}(b)$ に対して変分公式を導出する。最適戦略は、『スイスチーズ』のように見られるランダムに分布するスケール $t^{1/d}$ の穴を形成するが、これは大偏差における局在的で穴のない挙動とは著しく対照的である。

ABSTRACT

For a&gt;0,let W^a(t) be the a-neighbourhood of standard Brownian motion in R^d starting at 0 and observed until time t.It is well-known that E|W^a(t)|~kappa_a t (t-&gt;infty) for d &gt;= 3,with kappa_a the Newtonian capacity of the ball with radius a. We prove that lim_{t-&gt;infty} 1/t^{(d-2)/d}log P(|W^a(t)|&lt;=bt) = -I^{kappa_a}(b) in (-infty,0) for all 0<b>infty.This is markedly different from the optimal strategy for large deviations |W^a(t)|&lt;=f(t) with f(t)=o(t),where W^a(t) is known to fill completely a ball of volume f(t) and nothing outside,so that W^a(t) has no holes and f(t)^{-1/d}W^a(t) is localised in the limit as t-&gt;infty.We give a detailed analysis of the rate function I^{kappa_a},in particular,its behaviour near the boundary points of (0,kappa_a).It turns out that I^{kappa_a} has an infinite slope at kappa_a and,remarkably,for d&gt;=5 is nonanalytic at some critical point in (0,kappa_a),above which it follows a pure power law.This crossover is associated with a collapse transition in the optimal strategy.We also derive the analogous moderate deviation result for d=2.In this case E|W^a(t)|~2pi t/log t (t-&gt;infty),and we prove that lim_{t-&gt;infty} 1/log t log P(|W^a(t)|&lt;=bt/log t) =-I^{2pi}(b)in (-infty,0) for all 0<b></b></b>

研究の動機と目的

• $d \geq 3$ および $d=2$ における $\mathbb{R}^d$ 上のウィーナー・サーキュラス体積の、平均 $\kappa_a t$ のスケールにおける中程度偏差を分析すること。
• $t \to \infty$ の際に、対数尾確率 $\log P(|W^a(t)| \leq bt)$ の正確な漸近的表現を導出し、レート関数 $I^{\kappa_a}(b)$ を特定すること。
• 中程度偏差を実現する最適パス戦略を同定し、大偏差における局在的戦略と対比すること。
• レート関数 $I^{\kappa_a}$ の解析的および幾何的性質（非解析性および $d \geq 5$ における相転移を含む）を分析すること。
• 平均が $t / \log t$ のスケールで増加する臨界ケース $d=2$ における中程度偏差解析を拡張すること。

提案手法

• 中程度偏差領域における $b < \kappa_a$ の尾確率 $P(|W^a(t)| \leq bt)$ を解析するための大偏差理論の使用。
• ディリクレエネルギーと $L^2$ ノルムに関する制約を含む関数族 $\Phi^{\kappa_a}(b)$ における最小化として、レート関数 $I^{\kappa_a}(b)$ の変分表現を導出すること。
• フェインマン＝カックの公式およびカミンソン＝マーチン＝ギルサノフ変換を用いて、ウィーナー・サーキュラスを確率的ポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素に関連付けること。
• 径数的かつ厳密に単調減少な関数の $H^1(\mathbb{R}^d)$ 内での最小化によって定義される $\chi(u)$ の変分問題を用いて、レート関数を特徴付けること。
• 変分問題における最小値の存在および非存在を分析し、$d \geq 5$ における臨界値 $u^*_d$ で相転移が生じることを示すこと。
• $H^1(\mathbb{R}^d)$ 内のコンパクト性および弱収束の議論を用いて最小値の存在を証明し、レート関数の単調性および凸性の性質を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $t \to \infty$ の際、$b < \kappa_a$ の中程度偏差領域における $P(|W^a(t)| \leq bt)$ の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ2 中程度偏差を実現する最適パス戦略は何か？ また、大偏差における戦略とはどのように異なるか？
• RQ3 レート関数 $I^{\kappa_a}(b)$ は $b \to 0^+$ および $b \to \kappa_a^-$ の近傍でどのように振る舞い、その解析的性質は何か？
• RQ4 $d \geq 5$ においてレート関数に相転移が現れるか？ もしそうならば、その物理的および幾何的解釈は何か？
• RQ5 $d=2$ における中程度偏差挙動は、平均体積が $t / \log t$ のスケールで増加する点でどのように異なるか？

主な発見

• $d \geq 3$ に対して、中程度偏差のレート関数は $\lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{(d-2)/d}} \log P(|W^a(t)| \leq bt) = -I^{\kappa_a}(b)$ で与えられ、$I^{\kappa_a}(b)$ は変分公式によって定義される。
• 中程度偏差における最適戦略は非局在的であり、サイズ $\sim 1$ のランダムな穴をスケール $t^{1/d}$ で密度変動を伴って形成する。これは『スイスチーズ』構造に類似している。
• 大偏差とは対照的に、ウィーナー・サーキュラスが体積 $f(t)$ の球を埋め尽くす局在的で穴のない挙動を示すのに対し、中程度偏差では非局在的かつ穴だらけの戦略が採られる。
• $d \geq 5$ に対して、レート関数 $I^{\kappa_a}(b)$ は臨界点 $b_c \in (0, \kappa_a)$ で非解析的であり、この点より上では累乗法的尾部を示し、最適戦略における崩壊転移を示唆する。
• レート関数 $I^{\kappa_a}(b)$ は $b = \kappa_a$ で無限大の勾配を示し、確率の偏差の閾値が鋭いことを示している。
• $d=2$ に対しては、中程度偏差の結果が $\lim_{t \to \infty} \frac{1}{\log t} \log P(|W^a(t)| \leq bt / \log t) = -I^{2\pi}(b)$ で与えられ、$I^{2\pi}(b)$ は $b = 2\pi$ で有限の勾配を持つ。