[論文レビュー] Moderate deviations in random graphs and Bernoulli random matrices

Hanna Döring, Peter Eichelsbacher|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2009

Random Matrices and Applications参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Erdős-Rényi確率的グラフにおける部分グラフの数とベルヌーイ確率的行列のトレースについて、対数ラプラス変換推定と Gärtner-Ellis 定理を用いて中程度偏差原理（MDP）を確立する。主な貢献は、部分グラフの数の上側尾部確率を証明し、一般のエッジ確率 $ p(n) $ の条件下で、独立またはマコビアンのエントリを持つ対称U統計量へMDPを拡張することにある。

ABSTRACT

We prove a moderate deviation principle for subgraph count statistics of Erdos-Renyi random graphs. This is equivalent in showing a moderate deviation principle for the trace of a power of a Bernoulli random matrix. It is done via an estimation of the log-Laplace transform and the Gaertner-Ellis theorem. We obtain upper bounds on the upper tail probabilities of the number of occurrences of small subgraphs. The method of proof is used to show supplemental moderate deviation principles for a class of symmetric statistics, including non-degenerate U-statistics with independent or Markovian entries.

研究の動機と目的

• エッジ確率 $ p(n) $ を一般にした Erdős-Rényi 確率的グラフにおける部分グラフ数統計量の moderate deviation principle (MDP) を確立すること。
• 部分グラフ数統計量と同等であるベルヌーイ確率的行列のべき乗のトレースへMDPを拡張すること。
• 確率的グラフにおける小さな部分グラフの出現回数の上側尾部確率の境界を導出すること。
• 独立またはマコビアンのエントリを持つ対称U統計量のクラスへMDPを一般化すること。
• 部分グラフ数の大きな偏差と中程度の偏差が未解決のまま残っている文献のギャップを埋めること。

提案手法

• 部分グラフ数統計量の対数ラプラス変換を用いて中程度の偏差を分析する。
• Gärtner-Ellis 定理を適用して、スケーリングされた部分グラフ数 $ Z $ に対する中程度偏差原理を確立する。
• 従属する部分グラフ数を独立な確率変数の和で近似するために、投影技法を用いる。
• 正規化された統計量の2次および3次モーメントに対する明示的な境界を用いて、分散および高階のキュムラントを推定する。
• マルティングルの差分法と集中不等式を用いて、キュムラント展開における剰余項を制御する。
• キュムラントに基づく指数的チフトパラメータの洗練された選択を用いた、Chebyshev型不等式を適用して尾部境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Erdős-Rényi 確率的グラフにおける部分グラフ数は、一般のエッジ確率 $ p(n) $ の下で中程度偏差原理を満たすか？
• RQ2 部分グラフ数から中程度偏差原理をベルヌーイ確率的行列のべき乗のトレースへ拡張できるか？
• RQ3 確率的グラフにおける小さな部分グラフの出現回数の鋭い上側尾部境界は何か？
• RQ4 正規化された部分グラフ数 $ Z $ がMDPフレームワークを通じて中心極限定理を満たす条件は何か？
• RQ5 依存性またはマコビアンのエントリを持つ非退化U統計量へMDPを一般化できるか？

主な発見

• 条件 $ np^{3(k-1/2)} \to \infty $ および $ n^2(1-p)^{3/2} \to \infty $ の下で、スケーリングされた部分グラフ数 $ Z $ に対する中程度偏差原理が証明された。これは、従来の中心極限定理の条件よりも強い。
• 部分グラフ数 $ W $ の上側尾部境界は、$ P(W - \mathbb{E}W \geq \varepsilon \mathbb{E}W) \leq \exp\left( -\frac{c \varepsilon^2 n^{2l} p^{2k}}{n^{2l-2} p^{2k-1}(1-p)} \right) $ として導出され、中程度偏差領域における指数的減衰を示している。
• Z の漸近的分散は 1 に収束し、正規化定数 $ c_{n,p} $ が中心極限定理のスケーリングと整合的であることが確認された。
• 本手法により、より強いモーメント条件の下で、モーメント生成関数の収束を用いた連続性定理による $ Z $ に対する中心極限定理の別証明が得られた。
• 独立またはマコビアンのエントリを持つ対称U統計量のクラスへMDPが拡張され、部分グラフ数の結果を超えて一般化された。
• 提示された条件下で、キュムラント展開における剰余項 $ d(n) $ は $ n \to \infty $ の下で消えることが保証され、Gärtner-Ellis フレームワークにおける収束が保証された。