[論文レビュー] Moderate deviations principle for empirical covariance from a unit root

Yu Miao, Yanling Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2012

Monetary Policy and Economic Impact参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、単位根を有する線形自己回帰モデルにおける推定共分散のための中程度偏差原理（MDP）を確立する。自己回帰パラメータθₙ → 1 である状況において、マーティングール近似とノイズのモーメント条件の下での指数モーメントの上限を用いて、推定共分散および最小二乗推定量とユール＝ウォーカー推定量のMDPを導出する。これにより、従来のガウス分布または対数ソボレフ条件に依存する結果を超えて一般化される。

ABSTRACT

In the present paper, we consider the linear autoregressive model in $ r$, $$ X_{k,n}=θ_n X_{k,n-1}+ξ_k, k=0,1,...,n, n\ge 1$$ where $θ_n\in [0,1)$ is unknown, $(ξ_k)_{k\in\zz}$ is a sequence of centered i.i.d. r.v. valued in $ r$ representing the noise. When $θ_n o 1$, the moderate deviations principle for empirical covariance is discussed and as statistical applications we provide the moderate deviation estimates of the least square and the Yule-Walker estimators of the parameter $θ_n$.

研究の動機と目的

• 自己回帰パラメータθₙが1に近づくとき、線形自己回帰モデルにおける推定共分散のための中程度偏差原理（MDP）を確立すること。
• 従来のガウス分布または対数ソボレフ条件に依存しない、既存の大偏差および中程度偏差の結果を拡張すること。
• 単位根漸近的スケーリング下で、最小二乗推定量およびユール＝ウォーカー推定量θₙのための中程度偏差推定を提供すること。
• 中程度偏差スケーリング（bₙ / √n に比例する偏差、ただしbₙ → ∞ かつ bₙ / n → 0）において、推定共分散およびパラメータ推定量の漸近的挙動を分析すること。

提案手法

• 時間的依存構造を扱うために、マーティングール近似技術を用いて、推定共分散Cₗ,n*のための中程度偏差原理を導出する。
• 推定共分散過程の切り詰められた増分における指数モーメントの上限を用いて、 Gärtner-Ellis定理を適用する。
• ノイズξₖにモーメント条件を課す。具体的には、E|ξₖ|²⁺ᵞ < ∞（あるγ > 0）を仮定し、尾部の挙動を制御し、指数モーメントの収束を保証する。
• 切り詰めとカップリングの議論を用いて、切り詰められたプロセスと元のプロセスの差を制御し、中程度偏差スケーリングにおいてその寄与が消えることを示す。
• 正規化された累積生成関数の収束を二次形式へと確認し、推定共分散のMDPを裏付ける。
• 推定共分散のMDPを応用し、連続写像およびデルタ法型の議論を用いて、最小二乗推定量およびユール＝ウォーカー推定量θₙのための中程度偏差推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 θₙ → 1 のとき、単位根自己回帰モデルにおける推定共分散の中程度偏差挙動はいかなるものか？
• RQ2 真のパラメータが1に近づくとき、最小二乗推定量およびユール＝ウォーカー推定量θₙは中程度偏差においてどのように振る舞うか？
• RQ3 ノイズにガウス分布または対数ソボレフ条件を仮定しないで、推定共分散のための中程度偏差原理を確立できるか？
• RQ4 推定共分散およびパラメータ推定量のための中程度偏差原理の有効性を保証するのに十分なノイズξₖのモーメント条件は何か？
• RQ5 中央極限定理のスケーリングとは対照的に、中程度偏差スケーリングにおける推定共分散および推定量の漸近的挙動はどのように変化するか？

主な発見

• 推定共分散Cₗ,n*は、速度bₙ²および率関数I(x) = x² / (2σ²) で中程度偏差原理を満たす。ここでσ²は共分散推定量の漸近分散である。
• 最小二乗推定量̂θₙも同様のスケーリング下で中程度偏差原理を満たし、推定共分散のMDPから導かれる率関数を持つ。
• ユール＝ウォーカー推定量̃θₙも同様に、同じ速度bₙ²で中程度偏差原理を満たし、同じモーメント条件の下で成立する。
• 証明は切り詰めとモーメントバウンドに依存する。E|ξₖ|²⁺ᵞ < ∞（あるγ > 0）の下で、切り詰められた増分の指数モーメントが所定のレートで0に収束する。
• 切り詰められた尾部の寄与は、中程度偏差スケーリングにおいて消える。条件limₙ→∞ (bₙ (mp)¹⁺ᵞ) / √n = 0 の下で、尾部確率項の収束が0に示される。
• 従来の研究を一般化し、対数ソボレフ条件やガウス積分可能性の仮定を不要とし、より広いノイズ分布のクラスにまでMDPを拡張する。