[論文レビュー] Modern Koopman Theory for Dynamical Systems

Steven L. Brunton, Marko Budišić+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2021

Model Reduction and Neural Networks被引用数 34

ひとこと要約

現代の Koopman operator theory による dynamical systems の調査で、非線形ダイナミクスを無限次元の演算子を介して線形化する方法、実用的なアルゴリズム（特に DMD）、理論、およびデータ駆動型アプリケーションを概説します。

ABSTRACT

The field of dynamical systems is being transformed by the mathematical tools and algorithms emerging from modern computing and data science. First-principles derivations and asymptotic reductions are giving way to data-driven approaches that formulate models in operator theoretic or probabilistic frameworks. Koopman spectral theory has emerged as a dominant perspective over the past decade, in which nonlinear dynamics are represented in terms of an infinite-dimensional linear operator acting on the space of all possible measurement functions of the system. This linear representation of nonlinear dynamics has tremendous potential to enable the prediction, estimation, and control of nonlinear systems with standard textbook methods developed for linear systems. However, obtaining finite-dimensional coordinate systems and embeddings in which the dynamics appear approximately linear remains a central open challenge. The success of Koopman analysis is due primarily to three key factors: 1) there exists rigorous theory connecting it to classical geometric approaches for dynamical systems, 2) the approach is formulated in terms of measurements, making it ideal for leveraging big-data and machine learning techniques, and 3) simple, yet powerful numerical algorithms, such as the dynamic mode decomposition (DMD), have been developed and extended to reduce Koopman theory to practice in real-world applications. In this review, we provide an overview of modern Koopman operator theory, describing recent theoretical and algorithmic developments and highlighting these methods with a diverse range of applications. We also discuss key advances and challenges in the rapidly growing field of machine learning that are likely to drive future developments and significantly transform the theoretical landscape of dynamical systems.

研究の動機と目的

• Koopman theory が固有関数と埋め込みを介して非線形ダイナミクスをどのように線形化するかを説明する。
• Koopman, Liouville/Perron–Frobenius に基づく演算子論的枠組みと、それが古典的なダイナミクス系とどう結びつくかを要約する。
• Dynamic Mode Decomposition (DMD) および関連アルゴリズムを用いた実用的な計算を説明する。
• ビッグデータと機械学習の文脈での応用、課題、機会を議論する。

提案手法

• Koopman operator とその連続時間発生器（L）とそれらの observables に対する作用を定義する。
• Koopman operator の固有関数と、それらがダイナミクスを線形化する上での役割を説明する。
• Dynamic Mode Decomposition (DMD) を、Koopman のスペクトルを近似する実用的な数値手法として提示する。
• 高次元空間で概ね線形ダイナミクスを生み出す埋め込みと座標変換を説明する。
• Koopman 理論を Perron–Frobenius、Liouville、Carleman 線形化の枠組みと関連づける。
• データ駆動モデリングと機械学習技術との関係を概説する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Koopman operator の固有関数と埋込を介して、非線形ダイナミクスをどのように線形に表現できるか？
• RQ2 データから Koopman スペクトルを近似することの理論的・実践的な意味は何か？
• RQ3 DMD は Koopman mode decomposition とどう関連し、その限界と拡張は何か？
• RQ4 データ駆動型 Koopman 分析の分野横断的な応用、課題、今後の方向性は何か？
• RQ5 Koopman の概念は制御理論、不確実性定量化、従来のダイナミクス理論とどう結びつくか？

主な発見

• Koopman 理論は、組み込み演算子を介して無限次元の関数空間上で非線形ダイナミクスの線形表現を提供する。
• Koopman 演算子の固有関数は、ダイナミクスを分析・予測するための線形化された座標系を提供する。
• DMD は、データから Koopman 演算子を近似し、協同性構造を抽出する簡潔で強力な数値アルゴリズムを提供する。
• この枠組みは、古典的なダイナミクス系の概念（Hartman–Grobman、エルゴード性）および確率的視点（Perron–Frobenius）と結びつく。
• 応用は流体、疫学、神経科学、プラズマ、金融、ロボティクス、電力系統などに及び、データ駆動型手法により実用的な予測と制御が可能になる。