[論文レビュー] Modified Ringel-Hall algebras and Drinfeld double

Ming Lu, Liangang Peng|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、単調なアーベル圏 $\fa$ 上の $\bbZ/2$-次数付き複体のカテゴリに対して、修正されたリングル＝ホール代数 $\ncm\fh_{\bbZ/2}(\fa)$ を導入し、その代数的構造が、このような複体のリングル＝ホール代数の商の局所化として得られることを確立する。主な結果は、この代数が $\fa$ のねじれ拡張リングル＝ホール代数のドリンフェルト双対と同型であることであり、これは半導来ホール代数構造を一般化し、ゴルスキーとブリッジランドの構成を $\bbZ/2$-次数付き複体の文脈で統一するものである。

ABSTRACT

Inspired by the works of Bridgeland and Gorsky on constructing Ringel-Hall algebras from $\Z/2$-graded complexes, we consider the category $\cc_{\Z/2}(\ca)$ of $\Z/2$-graded complexes over a hereditary abelian category $\ca$ which may not have enough projective objects, and define the modified Ringel-Hall algebra of $\ca$, denoted by $\cm\ch_{\Z/2}(\ca)$, to be the localization of a quotient algebra of the Ringel-Hall algebra of $\cc_{\Z/2}(\ca)$. We prove such Ringel-Hall algebra to be of some nice properties and structures. The first one is that $\cm\ch_{\Z/2}(\ca)$ has a nice basis. As a consequence $\cm\ch_{\Z/2}(\ca)$ is a free module over a suitably defined quantum torus of acyclic complexes, with a basis given by the isomorphism classes of objects in the derived category of $\Z/2$-graded complexes, and so in somehow $\cm\ch_{\Z/2}(\ca)$ has a similar meaning as the semi-derived Hall algebra of Gorsky. The second one is that in twisted case $\cm\ch_{\Z/2}(\ca)$ is isomorphic to the Drinfeld double Ringel-Hall algebra of $\ch_{tw}^e(\ca)$, the twisted extended Ringel-Hall algebra of $\ca$ itself. In particular, the category of finite-dimensional nilpotent representations of a quiver and the category of coherent sheaves on a smooth projective curve or on a weighted projective line are hereditary abelian categories, and so their twisted modified Ringel-Hall algebras are isomorphic to their Drinfeld double Ringel-Hall algebras. Finally, if $\ca$ has a tilting object $T$, then its modified Ringel-Hall algebra is isomorphic to the $\Z/2$-graded semi-derived Hall algebra $\cs\cd\ch_{\Z/2}(\add T)$ of the exact category $\add T$ defined by Gorsky and so isomorphic to the Bridgeland's Ringel-Hall algebra of $\mod (\End(T))$.

研究の動機と目的

• hereditary なアーベル圏 $\fa$ 上の $\bbZ/2$-次数付き複体のための修正されたリングル＝ホール代数 $\ncm\fh_{\bbZ/2}(\fa)$ を定義・研究すること、特に $\fa$ が十分な射影対象を持たない場合でも成立するようにすること。
• $\ncm\fh_{\bbZ/2}(\fa)$ に標準的基底を確立し、それが非巡回複体の量子トーラス上の自由加群であることを示すこと。
• ねじれの場合に、$\ncm\fh_{\bbZ/2}(\fa)$ が $\fa$ のねじれ拡張リングル＝ホール代数のドリンフェルト双対と同型であることを証明すること。
• ゴルスキーの半導来ホール代数とブリッジランドの $\bmod(\text{End}(T))$ のリングル＝ホール代数の構成を、$\bbZ/2$-次数付き複体を通じて統一・一般化すること。
• $\fa$ が有限次元ノンポテンシャルクーヴィー表現や曲線上の整合的層のカテゴリであるような場合にも、ホール代数構造の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• hereditary なアーベル圏 $\fa$ 上の $\bbZ/2$-次数付き複体のカテゴリ $\fc_{\bbZ/2}(\fa)$ を構成し、$\fa$ が十分な射影対象を持たない場合でも成立するようにすること。
• $\fc_{\bbZ/2}(\fa)$ のリングル＝ホール代数の商の局所化として、修正されたリングル＝ホール代数 $\ncm\fh_{\bbZ/2}(\fa)$ を定義し、代数的制御性と基底の性質を保証すること。
• $\ncm\fh_{\bbZ/2}(\fa)$ の標準的基底を、$\fc_{\bbZ/2}(\fa)$ の導来カテゴリ内の対象の同型類からなるものとして特定し、非巡回複体の量子トーラス上での自由加群としての構造を明確にすること。
• $\ncm\fh_{\bbZ/2}(\fa)$ のねじれ版を導入し、それがねじれ拡張リングル＝ホール代数 $\fh_{\text{tw}}^e(\fa)$ のドリンフェルト双対と同型であることを証明すること。
• 具体的なカテゴリへの適用：有限次元ノンポテンシャルクーヴィー表現や、滑らかな射影的または重み付き射影的曲線上の整合的層。
• $\fa$ に傾き対象 $T$ が存在する場合、$\ncm\fh_{\bbZ/2}(\fa)$ が $\text{add}(T)$ の $\bbZ/2$-次数付き半導来ホール代数と同型であり、またブリッジランドの $\bmod(\text{End}(T))$ のリングル＝ホール代数とも同型であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 hereditary なアーベル圏 $\fa$ 上の $\bbZ/2$-次数付き複体に対して、$\fa$ が十分な射影対象を持たない場合でも、修正されたリングル＝ホール代数を定義できるか？
• RQ2 $\ncm\fh_{\bbZ/2}(\fa)$ は標準的基底を有するか？また、それが非巡回複体の量子トーラス上での自由加群であるか？
• RQ3 $\ncm\fh_{\bbZ/2}(\fa)$ のねじれ版は、$\fa$ のねじれ拡張リングル＝ホール代数のドリンフェルト双対と同型であるか？
• RQ4 $\ncm\fh_{\bbZ/2}(\fa)$ は、ゴルスキーの半導来ホール代数とブリッジランドのリングル＝ホール代数構成とどのように関係するか？
• RQ5 $\fa$ が有限次元ノンポテンシャルクーヴィー表現のカテゴリまたは曲線上の整合的層のカテゴリであるとき、$\ncm\fh_{\bbZ/2}(\fa)$ の構造はどのようなものか？

主な発見

• $\ncm\fh_{\bbZ/2}(\fa)$ は、$\bbZ/2$-次数付き複体の導来カテゴリ内の対象の同型類からなる標準的基底を有する。
• この代数は、$\fc_{\bbZ/2}(\fa)$ 内の非巡回複体から構成される量子トーラス上での自由加群である。これにより、良好な代数的構造が保証される。
• ねじれの場合、$\ncm\fh_{\bbZ/2}(\fa)$ は、ねじれ拡張リングル＝ホール代数 $\fh_{\text{tw}}^e(\fa)$ のドリンフェルト双対と同型であり、ホール代数の双対性を統一的に扱う。
• 有限次元ノンポテンシャルクーヴィー表現や滑らかな射影的・重み付き射影的曲線上の整合的層のカテゴリといった、hereditary なアーベル圏に対しては、ねじれ修正リングル＝ホール代数が、対応するホール代数のドリンフェルト双対と同型である。
• $\fa$ に傾き対象 $T$ が存在する場合、$\ncm\fh_{\bbZ/2}(\fa)$ は、$\text{add}(T)$ の $\bbZ/2$-次数付き半導来ホール代数と同型であり、またブリッジランドの $\bmod(\text{End}(T))$ のリングル＝ホール代数とも同型である。
• 本構成は、ゴルスキーとブリッジランドの先行研究を一般化・統一し、射影生成子を必要としない $\bbZ/2$-次数付き複体の文脈へとフレームワークを拡張する。