[論文レビュー] Modified vertex Folkman numbers

Aleksandar Bikov, Nedyalko Nenov|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、全般的な探索およびグラフ生成アルゴリズムに基づく計算的手法を用いて、すべての $m \geq 8$ に対して、修正頂点フォルクマン数 $Ϫ{F}({m}\big|_{6};m-1) = m+10$ の正確な値を確立している。著者らは、$m+10$ 項のグラフが、クライーク数が $m-1$ より小さいというフォルクマン条件を満たすことはないことを証明しており、修正頂点フォルクマン数枠組みにおける $p=6$ の場合を解決している。

ABSTRACT

Let $a_1, ..., a_s$ be positive integers. For a graph $G$ the expression $$ G \overset{v}{ ightarrow} (a_1, ..., a_s) $$ means that for every coloring of the vertices of $G$ in $s$ colors ($s$-coloring) there exists $i \in \{1, ..., s\}$, such that there is a monochromatic $a_i$-clique of color $i$. If $m$ and $p$ are positive integers, then $$ G \overset{v}{ ightarrow} {m}\big\vert_{p} $$ means that for arbitrary positive integers $a_1, ..., a_s$ ($s$ is not fixed), such that $\sum_{i = 1}^{s}(a_i - 1) + 1 = m$ an $\max{\{a_1, ..., a_s\}} \leq p$ we have $G \overset{v}{ ightarrow} (a_1, ..., a_s)$. Let $$ \widetilde{\mathcal{H}}({m}\big\vert_{p}; q) = \{G : G \overset{v}{ ightarrow} {m}\big\vert_{p} \mbox{ and } ω(G) < q\}. $$ The modified vertex Folkman numbers are defined by the equality $$ \widetilde{F}({m}\big\vert_{p}; q) = \min{\{|V(G)| : G \in \widetilde{\mathcal{H}}({m}\big\vert_{p}; q)\}}. $$ If $q \geq m$ these numbers are known and they are easy to compute. In the case $q = m - 1$ we know all of the numbers when $p \leq 5$. In this work we consider the next unknown case $p = 6$ and we prove with the help of a computer that $$ \widetilde{F}({m}\big\vert_{6}; m - 1) = m + 10. $$

研究の動機と目的

• 修正頂点フォルクマン数 $Ϫ{F}({m}\big|_{6};m-1)$ の正確な値を $m \geq 8$ に対して特定すること。これにより、$p \leq 5$ の既知の結果を拡張する。
• 修正頂点フォルクマン数枠組みにおける以前未知であった $p=6$ のケースを解決すること。これは、任意の $s$-彩色において単色クライークを強制するが、クライークサイズが有界なグラフの順序を制限することを含む。
• $m+10$ 項のグラフが、クライーク数が $m-1$ より小さいというフォルクマン条件を満たすことはない、という事実を確立することで、境界の最小性を証明すること。

提案手法

• 著者らは、$G \overset{v}{\rightarrow} m\big|_p$ かつ $\omega(G) < q$ を満たすグラフ $G$ の最小順序として、修正頂点フォルクマン数 $Ϫ{F}({m}\big|_{p};q)$ を定義している。ここで $m = \sum (a_i - 1) + 1$ かつ $\max a_i \leq p$ である。
• 2つの特化されたアルゴリズムを採用している：独立数が 2 より大きい最大グラフを生成するためのアルゴリズム 3.2、および独立数が正確に 2 であるグラフを生成するためのアルゴリズム 3.4。両者とも、基本となる完全グラフから出発し、独立な頂点を追加することで構築される。
• 探索は、$m = 9, 10, 11$ の場合に、$\widetilde{\mathcal{H}}({m}\big|_{6};{m-1};{m+9})$ のネストされた集合を通して再帰的に実施され、これらの集合内に最大グラフが存在しないことを確認している。
• 証明は、$m = 9, 10, 11$ の場合に $\widetilde{\mathcal{H}}({m}\big|_{6};{m-1};{m+9})$ 内にこのようなグラフが存在しないことを確認することに依拠しており、これにより $\widetilde{F}({m}\big|_{6};m-1) > m+9$ が得られ、結果として $\widetilde{F}({m}\big|_{6};m-1) = m+10$ が証明される。
• 計算は、独立数制約およびグラフ拡張技術を用いて、関連するすべての集合において最大グラフが存在しないことを確認することで検証されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $m \geq 8$ に対して、修正頂点フォルクマン数 $\widetilde{F}({m}\big|_{6};m-1)$ の正確な値は何か？
• RQ2 $m+10$ 項のグラフが、$G \overset{v}{\rightarrow} m\big|_6$ を満たすが、クライーク数が $m-1$ より小さいことはあるか？
• RQ3 $m = 9, 10, 11$ の場合に、再帰的グラフ生成および独立数制約を用いて、このようなグラフの非存在を計算的に検証できるか？

主な発見

• すべての $m \geq 8$ に対して、修正頂点フォルクマン数 $\widetilde{F}({m}\big|_{6};m-1)$ は正確に $m+10$ に等しく、$p=6$ のケースが解決された。
• $\widetilde{\mathcal{H}}({8}\big|_{6};{7};{17})$ に最大グラフが存在しないことが確認され、$\widetilde{F}({8}\big|_{6};{7}) = 18$ が裏付けられた。
• $m = 9, 10, 11$ の場合に $\widetilde{\mathcal{H}}({m}\big|_{6};{m-1};{m+9})$ 内に最大グラフが存在しないことは、$\widetilde{F}({m}\big|_{6};m-1) > m+9$ を示し、正確な値が $m+10$ であることを証明する。
• 証明は、独立数が 2 より大きいグラフと独立数が正確に 2 であるグラフの両方を扱う2つのアルゴリズムを用いて、ネストされたグラフ集合を通して再帰的に適用することで、計算的に検証されている。
• この結果により、$p \leq 5$ の場合にのみ既知であった知識が拡張され、修正頂点フォルクマン数列における次の未解決ケースの正確な値が確立された。