[論文レビュー] Modular bootstrap for D4-D2-D0 indices on compact Calabi-Yau threefolds

Sergey Alexandrov, Nava Gaddam+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2022

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、b2 = 1 を持つコンpactなカーボリ・ヤウ3次元多様体上でのD4-D2-D0 BPSインデックスを計算するためのモジュラー・ブートストラップ手法を提示し、生成関数 h1(τ) の極項について、ランク1ドナルドソン＝トーマス不変量を用いたアンサンブルを提案する。13個の許容される3次元多様体のうち10個について、このアンサンブルは整数フーリエ係数をもつモジュラー形式を生成し、無限個のDT不変量を予測する。ランク2のD4ブレーン電荷 r=2 の場合、クラス数の生成関数を用いた比較系列 h(an)2 を構築してモジュラー異常を補完するが、完全なアンサンブルが得られていないため極項は未定義のままである。

ABSTRACT

We investigate the modularity constraints on the generating series $h_r( au)$ of BPS indices counting D4-D2-D0 bound states with fixed D4-brane charge $r$ in type IIA string theory compactified on complete intersection Calabi-Yau threefolds with $b_2 = 1$. For unit D4-brane, $h_1$ transforms as a (vector-valued) modular form under the action of $SL(2,Z)$ and thus is completely determined by its polar terms. We propose an Ansatz for these terms in terms of rank 1 Donaldson-Thomas invariants, which incorporates contributions from a single D6-anti-D6 pair. Using an explicit overcomplete basis of the relevant space of weakly holomorphic modular forms (valid for any $r$), we find that for 10 of the 13 allowed threefolds, the Ansatz leads to a solution for $h_1$ with integer Fourier coefficients, thereby predicting an infinite series of DT invariants.For $r > 1$, $h_r$ is mock modular and determined by its polar part together with its shadow. Restricting to $r = 2$, we use the generating series of Hurwitz class numbers to construct a series $h^{an}_2$ with exactly the same modular anomaly as $h_2$, so that the difference $h_{2}-h^{an}_2$ is an ordinary modular form fixed by its polar terms. For lack of a satisfactory Ansatz, we leave the determination of these polar terms as an open problem.

研究の動機と目的

• b2 = 1 を持つコンパクトなカーボリ・ヤウ3次元多様体上でのD4-D2-D0束縛状態のBPSインデックスを、モジュラー不変性を用いて特定すること。
• 通常は直接計算が極めて困難であるランク0ドナルドソン＝トーマス不変量の計算に直面する課題に対処すること。
• モジュラー制約を用いて極項から生成関数を再構成する体系的な手法を開発すること。
• ランク1DT不変量と単一のD6-D6ペア貢献に基づく極項アンサンブルの妥当性を検証すること。
• 生成関数がモジュラー形式ではなく、モックモジュラー形式である r=2 の高ランクD4ブレーン電荷へのモジュラー・ブートストラップ枠組みの拡張すること。

提案手法

• 単一のD6-D6ペアからの貢献を仮定し、生成関数 h1(τ) の極項について、ランク1DT不変量を用いたアンサンブルを提示する。
• 弱正則モジュラー形式の明示的かつ過剰な基底を用いて、モジュラー制約下で h1(τ) を解く。
• r=2 の場合、クラス数の生成関数を用いた比較系列 h(an)2 を構築し、h2 のモジュラー異常を一致させる。
• 差分 h2 − h(an)2 を標準的なモジュラー形式として定義し、極項によって一意に定まるため、極係数が既知であれば h2(τ) を完全に再構成可能である。
• SL(2,Z) におけるベクトル値モジュラー形式のモジュラー性を活用し、有限個の係数から生成関数全体を制約する。
• 一般化されたヘッケ作用素とスペクトルフローを用いて、異なるBPSインデックスを関連づけ、モジュラー不変性と整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D4-D2-D0生成関数 h1(τ) の極項は、モジュラー制約と物理的アンサンブルを用いて体系的に再構成可能か？
• RQ2 b2 = 1 を持つどのコンパクトなカーボリ・ヤウ3次元多様体に対して、提案された極項アンサンブルが整数フーリエ係数をもつモジュラー形式を生成するか？
• RQ3 生成関数がモックモジュラーである r=2 のような高ランクD4ブレーン電荷へのモジュラー・ブートストラップ法は、どのように拡張可能か？
• RQ4 ランク1DT不変量とD6-D6ペアの貢献は、h1(τ) の極構造を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 r=2 の極項が未定義のまま残っている理由は何か？このギャップを埋めるために、追加の物理的または数学的入力は何か？

主な発見

• b2 = 1 を持つ13個の許容されるコンパクトなカーボリ・ヤウ3次元多様体のうち、10個について、極項に向けた提案アンサンブルは整数フーリエ係数をもつモジュラー形式 h1(τ) を生成し、無限個のランク0DT不変量を予測する。
• 1つのD4ブレーンに対応する生成関数 h1(τ) は、SL(2,Z) 下で重み w = -1/2b2(Y) - 1 のベクトル値モジュラー形式として変換され、極項によって完全に決定される。
• r=2 の場合、h2(τ) のモジュラー異常は、クラス数の生成関数を用いて構築された系列 h(an)2 と一致し、モジュラー部分 h2 − h(an)2 を分離できる。
• 差分 h2 − h(an)2 は極項によって一意に定まる標準的なモジュラー形式であり、極係数が既知であれば h2(τ) が完全に決定されることを示唆する。
• [56] のDT不変量の数学的公式は、バゴモロフ＝ギーセカー条件の下で、最も極的な場合を除き、アンサンブルの極項を再現しない。これは有効範囲に乖離があることを示唆する。
• 本稿では、r=2 の極項に対するアンサンブルのギャップを特定し、物理的または数学的アンサンブルが十分でないため、その決定は未解決の問題のまま残っている。