[論文レビュー] Modular categories and orbifold models II

Alexander Kirillov|ArXiv.org|Oct 19, 2001

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンformal field theoryにおける軌道体モデルの分類を拡張し、固定点頂点演算子代数 $\mathcal{V}^G$ 上の加群の圏が、 twisted $\mathcal{V}$-加群の圏とその上での群作用から再構成可能であることを示している。主な結果は、圏がモジュラーである場合、軌道体圏が twisted Drinfeld double $D^\omega(G)$ の表現の圏と同値であるということであり、以前のホロモーフィックの場合の結果を一般化する。

ABSTRACT

This is a continuation of the paper "Modular tensor categories and orbifold theories", arXiv:math.QA/0104242. It discusses orbifold models of conformal filed theory, or, in mathematical language, question of constructing the category of representations of the fixed point algebra $V^G$ for a given vertex operator algebra $V$ with an action of a finite group $G$. The previous paper gave a proof of well-known conjecture of Dijkgraaf-Vafa-Verlinde-Verlinde giving a complete answer to this question in the holomorphic case (when $V$ has a unique simple module, $V$ itself) under the assumption that categories of rrepresentations of $V$, $V^G$ are modular tensor categories. In the current paper, we give a partial answer in non-holomorphic case. In particular, we show that the category of representations of $V^G$ is completely determined by the category of twisted $V$-modules together with the action of $G$ on this category. Our approach is based on describing representations of $V$, $V^G$ and relation between them in terms of tensor categories and avoids using the technique of VOAs as much as possible.

研究の動機と目的

• リーマン的 conformal field theoryにおける軌道体モデルの分類を、ホロモーフィックでない場合にまで一般化すること。
• 固定点代数 $\mathcal{V}^G$ 上の加群の圏 $\mathcal{C}$ が、 twisted $\mathcal{V}$-加群の圏と群 $G$ の作用から再構成可能であることを示すこと。
• 軌道体圏 $\mathcal{C}$ がモジュラーであるための条件を確立し、その関係を twisted 加群のサポートと関連づけること。

提案手法

• 軌道体問題を braided tensor 圏の言語に再定式化し、頂点演算子代数をカテゴリカル構造に置き換える。
• $A$ をモジュラー圏における可換代数とするとき、$A$-加群の $G$-等配加群の圏 $({\rm Rep}A)^G$ を定義する。
• $G$ が $\rm Rep A$ 上で twisting functor $\Pi_g(X) = X^{g^{-1}}$ を通じて作用することを定義し、これは $A$-加群の圏上の群作用を定義する。
• 軌道体圏 $\mathcal{C}$ を $({\rm Rep}A)^G$ として構成し、これが braided tensor 構造を引き継ぐことを示す。
• $\mathcal{C}$ の $s$-行列が非特異であるための必要十分条件が、すべての $g \in G$ に対して $\operatorname{Rep}_g A \neq 0$ であることであることを証明し、モジュラリティを保証する。
• $\operatorname{Rep}_g A$ の非消滅性を用いて、$s$-行列の特異性を排除し、条件を満たす場合にモジュラリティが保証されることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定点代数 $\mathcal{V}^G$ 上の加群の圏は、 twisted $\mathcal{V}$-加群の圏とその上での群作用から再構成可能か？
• RQ2 非ホロモーフィックな状況において、軌道体圏 $\mathcal{C}$ を完全に決定するために追加で必要なデータは何か？
• RQ3 軌道体圏 $\mathcal{C}$ がモジュラーであるための条件は何か？ そしてそれは twisted 加群のサポートとどのように関係するか？
• RQ4 非ホロモーフィックな設定において、軌道体圏は twisted Drinfeld double $D^\omega(G)$ の表現圏と同値か？
• RQ5 $\mathcal{C}_1$（$\rm Rep^0 A$ とのペアリングが非ゼロである加群が生成する部分圏）から $\mathcal{C}$ を再構成できるか？

主な発見

• 圏 $\mathcal{C}$ がモジュラーで、$\mathcal{V}$-加群の圏がホロモーフィックである場合、軌道体圏 $\mathcal{C}$ は twisted Drinfeld double $D^\omega(G)$ の表現の圏と同値である。
• 圏 $\mathcal{C}$ は、$\rm Rep A$ とその上の $G$-作用によって完全に決定され、その条件として $\mathcal{C}$ がモジュラーであることである。
• $\mathcal{C}$ の $s$-行列が非特異であるための必要十分条件は、すべての $g \in G$ に対して $\operatorname{Rep}_g A \neq 0$ であることであり、これによりモジュラリティが保証される。
• $H = \{g \in G \mid \operatorname{Rep}_g A \neq 0\}$ は $G$ において正規部分群であり、$H \neq G$ ならば $s$-行列が特異的になるため、モジュラリティと矛盾する。
• $\mathcal{C}$ を $\mathcal{C}_1$ から再構成することは一般には不可能であり、$U_q(\mathfrak{sl}_2)$ が根の単位根における例で示されるように、$\mathcal{C}_1$ は偶数重み加群に対応する。
• $\mathcal{C}_1$ から $\mathcal{C}$ を回復する問題は、標準的な群拡張問題とは双対的であり、特に $\mathcal{C}_1$ が Tannakian でない場合には著しく困難である。