[論文レビュー] Modular forms applied to the computational inverse Galois problem

Johan Bosman|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、尖点形式に付随するモジュラー Galois 表現を用いて、ℚ 上で PSL₂(𝔽₂₅)、PSL₂(𝔽₃₂)、PSL₂(𝔽₄₉)、PGL₂(𝔽₂₅)、PGL₂(𝔽₂₇) の Galois 群をもつ最初の明示的な多項式が構成された。モジュラー形式の計算と Serre の予想を用いて、これらの表現が望ましい射影 Galois 群をもたらすことを検証し、これらの群が ℚ 上の Galois 群として明示的に実現されることを示した。

ABSTRACT

For each of the groups PSL2(F25), PSL2(F32), PSL2(F49), PGL2(F25), and PGL2(F27), we display the first explicitly known polynomials over Q having that group as Galois group. Each polynomial is related to a Galois representation associated to a modular form. We indicate how computations with modular Galois representations were used to obtain these polynomials. For each polynomial, we also indicate how to use Serre's conjectures to determine the modular form giving rise to the related Galois representation.

研究の動機と目的

• PSL₂(𝔽q) および PGL₂(𝔽q) の形をした特定の有限群（q は素数のべき）について、計算的逆 Galois 問題を解くこと。
• これらの群に同型な Galois 群をもつ ℚ[x] 内の明示的多項式を構成すること。
• モジュラー形式およびそれらに付随する Galois 表現が、このような多項式を計算するためにどのように用いられるかを示すこと。
• 計算的手法と Serre の予想のような理論的道具を用いて、構成された各多項式の Galois 群を検証すること。
• モジュラー形式と射影型線形群が ℚ 上の Galois 群として実現されることを結びつける体系的な方法を提供すること。

提案手法

• 新形式 f ∈ S₂(Γ₁(N)) とそのねぶんたくす字(char) εf を用いて、2次元の mod ℓ Galois 表現 ρf,λ: Gℚ → GL₂(𝔽λ) を構成する。
• mod ℓ 表現を GL₂(𝔽λ) → PGL₂(𝔽λ) の射影に合成することで、射影的表現 ρ̃f,λ を得る。この表現の像は有限体上の射影型線形群に同型である。
• Dickson の分類と関数 θ: PGL₂(𝔽q) → 𝔽q（トレースの平方と行列式の比）を用いて、射影的表現の像が PSL₂(𝔽q) に等しいかどうかをテストする。
• θ(G) = 𝔽q であることはかつて G = PSL₂(𝔽q) であることと同値であるという条件を用いて、像が完全な群であることを検証する。
• Serre の予想を用いて、レベル N、重さ k、係数体を、a₂(f) の最小多項式によって一致させることで、各 Galois 表現に対応する特定のモジュラー形式 f を同定する。
• ρ̃f,λ の像として実現される体の分解体を、次数 #𝔽λ + 1 の多項式 Pf,λ ∈ ℚ[x] の分裂体として構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q が合成数であるような PSL₂(𝔽q) および PGL₂(𝔽q) の形をした指定された Galois 群をもつ ℚ 上の多項式を、モジュラー形式を用いて明示的に構成できるか？
• RQ2 構成された多項式の Galois 群が、真の部分群ではなく、正確に PSL₂(𝔽q) や PGL₂(𝔽q) であることをどのように計算的に検証できるか？
• RQ3 与えられた多項式から得られる Galois 表現に対応するモジュラー形式を特定する際に、Serre の予想はどのような役割を果たすか？
• RQ4 射影的 Galois 表現の像の完全性を確認する基準として、トレースの平方と行列式の比関数 θ をどれほどまで用いることができるか？
• RQ5 モジュラー形式 f から得られる多項式 Pf,λ が実際にその射影的像を ℚ 上の Galois 群として実現するように保証するにはどうすればよいか？

主な発見

• 本稿では、Galois 群が PSL₂(𝔽₂₅} である最初の既知の明示的多項式が提示された。判別式は 5²⁸·29²⁰ であり、5 では型 1¹1⁵1²⁰、29 では型 1¹1⁵2⁵2⁵ で分岐している。
• PSL₂(𝔽₃₂) については、判別式 2⁶²·157¹⁶ の多項式が構成され、2 と 157 で分岐し、分解型はそれぞれ 1¹1³² および 1¹(2²)⁸ である。
• PSL₂(𝔽₄₉} の多項式は判別式 7⁵⁶·23⁴² をもち、7 では 1¹1⁴⁹、23 では 1¹1⁷3⁷3⁷ で分岐し、係数体は x² + x - 1 の根によって生成される。
• PGL₂(𝔽₂₅) については、次数 26 の多項式が構成され、判別式は 5³⁰·17²¹ であり、5 と 17 で分岐し、分解型はそれぞれ 1¹1²⁵ および 1¹1¹3⁸ である。
• PGL₂(𝔽₂₇) については、3 つの多項式が与えられ、判別式はそれぞれ 3³⁹·41¹⁸、3³⁹·47¹⁸、3³⁹·53¹⁸ であり、3 とそれぞれの素数で分岐し、分解型は 1¹1²⁷ および 1¹1³(2³)⁴ である。
• すべてのケースにおいて、関連するモジュラー形式 f は、そのレベル N、重さ k=2、および Hecke の固有値 a₂(f) の最小多項式によって一意に特定可能であり、Serre の予想を通じて Galois 表現へのリンクが確認された。