[論文レビュー] Modular forms of orthogonal type and Jacobi theta-series

Fabien Cléry, Valery Gritsenko|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、任意の正定値格子に対する半整数インデックスのヤコビ形式の理論を構築し、古典的ヤコビ形式を一般化する。半整数インデックスのヤコビ形式に対するヤコビリフト構成を導入し、θ積と引き込みを用いて、特異的・臨界的重みの反射的モジュラー形式を明示的に構成可能にする。これにより、自明および非自明な特徴を持つ新しいモジュラー形式の例が得られる。

ABSTRACT

In this paper we consider Jacobi forms of half-integral index for any positive definite lattice L (classical Jacobi forms from the book of Eichler and Zagier correspond to the lattice A_1=<2>). We give a lot of examples of Jacobi forms of singular and critical weights for root systems using Jacobi theta-series. We describe the Jacobi lifting for Jacobi forms of half-integral indices. In some case it gives additive lifting construction of new reflective modular forms.

研究の動機と目的

• 任意の正定値格子 $L$ に対して、古典的ヤコビ形式（$A_1 = \langle 2 \rangle$）を一般化した半整数インデックスのヤコビ形式を定義する。
• 特徴付きの可能性を含む半整数インデックス形式に対するヤコビリフト写像を構築し、新しい反射的モジュラー形式の構成を可能にする。
• θ積と引き込みを用いて、特異的・臨界的重みのヤコビ形式の明示的例を提供する。
• ボルヒャース・エニリューズ形式 $\Phi_4$ を8つの古典的θ級数のリフトとして再構成する新しい構成法を提示する。
• 特異的重みの高ランクヤコビ形式の引き込みを通じて、θクォークと正則なθブロックを解明する。

提案手法

• 任意の正定値格子 $L$ に対して、半整数インデックスのヤコビ形式を定義し、アイヘラー＝ツァギエールの枠組みを一般化する。
• 根格子に付随するヤコビθ級数を用いて、特異的・臨界的重みのヤコビ形式の例を構成する。
• 半整数インデックスのヤコビ形式から正規直交群のモジュラー形式を構成する写像 $\mathrm{Lift}$ を導入する。
• コランク2の部分格子へのヤコビ形式の引き込みを分析し、臨界的重みの新しいカスプ形式を生成する。
• θ積およびその引き込みを用いて、自明または非自明な特徴を持つヤコビカスプ形式を構成する。
• Weil表現および $\eta$-関数と $\vartheta$-関数のモジュラー性を用いて、変換性と特徴構造を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の正定値格子に対して、半整数インデックスのヤコビ形式を体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 半整数インデックス形式に対するヤコビリフト写像の構造は何か？ また、その写像が保つモジュラー群は何か？
• RQ3 どの格子が、自明または非自明な特徴を持つ臨界的重み $\frac{n+1}{2}$ の非ゼロヤコビカスプ形式を有するか？
• RQ4 ボルヒャース・エニリューズ形式 $\Phi_4$ は、古典的θ級数の積のリフトとして再構成可能か？
• RQ5 θ積と引き込みは、θクォークのような正則なθブロックを生成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 半整数インデックス形式に対するヤコビリフトは、符号 $(2,n)$ の正規直交群上での反射的モジュラー形式の直接的構成を可能にする。
• $D_3$ 上の特異的重み1の形式 $\sigma_{A_2}$ は、引き込みにより臨界的重み1のカスプ形式を生成し、特徴 $v_{\eta}^8$ を持つθクォーク $\theta_{a,b}$ を得る。
• $n \geq 7$ 奇数または $n \geq 8$ 偶数で $d \equiv n+1 \pmod{2}$ を満たす場合、ランク $n$ の格子 $L$ が存在し、特徴 $v_{\eta}^d$ を持つ非ゼロヤコビカスプ形式（臨界的重み $\frac{n+1}{2}$）を有する。
• 形 $\eta(\tau)\vartheta_{3/2}(\tau,2z)$ および $\eta(\tau)\vartheta(\tau,2z)$ のθ積は、それぞれ特徴 $v_{\eta}^2$ および $v_{\eta}^4$ を持つ特異的重み1のヤコビ形式を生成する。
• $\sigma_{A_2}$ を $u = 2(b, -a, 0)$ に沿って引き込むと、重み1、インデックス $a^2 + ab + b^2$ のθクォーク $\theta_{a,b} = \frac{\vartheta(\tau,az)\vartheta(\tau,bz)\vartheta(\tau,(a+b)z)}{\eta(\tau)}$ が得られる。
• すべての奇数ランク $\geq 5$ に対して、自明な特徴を持つ臨界的重みのヤコビカスプ形式が存在し、$\vartheta_{A_m(3)}$ を通じた高ランク特異的重み形式の引き込みとして構成される。