[論文レビュー] Modular framization of the BMW algebra

Jesús Juyumaya, Sofia Lambropoulou|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、BMW代数のモジュラーフレーム化、すなわち、$F_{d,n}$ と表記される新しい有限次元代数を、フレーム生成子 $t_i$ を用いて Birman–Wenzl–Murakami 代数を拡張することで構成する。ここで $t_i^d = 1$ かつ $e_i = \frac{1}{d}\sum_{s=0}^{d-1} t_i^s t_{i+1}^{-s}$ を満たす修正された二次関係を含む。主な結果として、ブレード生成子 $g_i$ が最小の四次関係と閉じた五次関係を満たすことが示され、これにより非向き付きの絡み目の多項式不変量をもたらすマーカフトレースの存在が示唆される。

ABSTRACT

In this work we introduce the concept of Modular Framization or simply Framization. We construct a framization $F_{d,n}$ of the Birman--Wenzl--Murakami algebra, also known as BMW algebra, and start a systematic study of this framization. We show that $F_{d,n}$ is finite dimensional and the \lq braid generators q\ of this algebra satisfy a quartic relation which is of minimal degree not containing the generators $t_i$. They also satisfy a quintic relation, as the smallest closed relation. We conjecture that the algebras $F_{d,n}$ support a Markov trace which allow to define polynomial invariants for unoriented knots in an analogous way that the Kauffman polynomial is derived from the BMW algebra. The idea originates from the Yokonuma--Hecke algebra, built from the classical Hecke algebra by adding framing generators and changing the Hecke algebra quadratic relation by a new quadratic relation which involves the framing generators. Using the Yokonuma--Hecke algebras and a Markov trace constructed on them\cite{ju} we produced invariants for oriented framed knots\cite{jula1,jula3}, classical knots\cite{jula4} (which satisfies a cubic skein relation), and singular knots\cite{jula2}. Moreover, we have connections with virtual braids and transversal knot theory. In this note we also apply the framization mechanism on other knot algebras, such as the Temperley--Lieb algebra, the singular Hecke algebra introduced by Paris and Rabenda and Hecke algebras of type $B$.

研究の動機と目的

• ヘッケ代数のヨコヌマ–ヘッケ代数によるフレーム化と類似する、BMW代数のフレーム化機構を構築すること。
• フレーム生成子 $t_i$ を追加し、$t_i^d = 1$ および $e_i$ を含む修正された二次関係を満たすように、新しい有限次元代数 $F_{d,n}$ を構成すること。
• $F_{d,n}$ が、BMW代数から得られるカウフマン多項式と同様に、非向き付きの絡み目の多項式不変量をもたらすマーカフトレースを備えているかどうかを調査すること。
• フレーム化フレームワークを、Temperley–Lieb代数、特異ヘッケ代数、$B$-型ヘッケ代数を含む他の絡み目代数へ体系的に拡張すること。

提案手法

• $K = \mathbb{C}(l,m)$ 上の単位的結合代数として、$g_i, h_i, t_i$ を生成子とするモジュラーフレーム化 $F_{d,n}$ を定義し、BMW代数の関係を拡張する。
• 標準的な二次関係 $g_i^2 = 1 - m g_i + m l^{-1} h_i$ を、$g_i^2 = (1 - m) - m e_i(g_i - 1) + m l^{-1} h_i$ に置き換える。ここで $e_i = \frac{1}{d}\sum_{s=0}^{d-1} t_i^s t_{i+1}^{-s}$ である。
• フレーム関係を課す：$t_i^d = 1$、$t_i t_j = t_j t_i$、$t_i h_i = t_{i+1} h_i$、および $0 \leq k \leq d-1$ に対して $h_i t_i^k h_i = y_k h_i$（$y_k$ はパラメータ）。
• $g_i$ が $t_j$ に作用する方法を $t_j g_i = g_i t_{s_i(j)}$ として定義する。ここで $s_i$ は置換 $(i,i+1)$ であり、ブレード関係と整合性を持つようにする。
• 新しい関係を用いて、$e_i^2 = e_i$、$e_i h_i = h_i e_i = h_i$、$g_i$ の逆元の存在などの代数的恒等式を導出する。
• $g_i$ が $t_i$ や $h_i$ を含まない最小の四次関係と閉じた五次関係を満たすことを確立し、マーカフトレースの構成可能性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BMW代数は、$t_i^d = 1$ を満たすフレーム生成子 $t_i$ を用いてモジュラーフレーム化可能であり、有限次元代数 $F_{d,n}$ を得られるか？
• RQ2 $F_{d,n}$ 内のブレード生成子 $g_i$ は、フレーム生成子 $t_i$ を含まない最小次数の多項式関係を満たすか？
• RQ3 $F_{d,n}$ 内の $g_i$ に対して、$t_i$ や $h_i$ を含まない閉じた五次関係が存在し、かつそれが最小次数であるか？
• RQ4 $F_{d,n}$ は、カウフマン多項式と同様に非向き付きの絡み目の多項式不変量をもたらすマーカフトレースを備えているか？
• RQ5 フレーム化機構は、Temperley–Lieb代数、特異ヘッケ代数、$B$-型ヘッケ代数などの他の絡み目代数へ体系的に拡張可能か？

主な発見

• モジュラーフレーム化 $F_{d,n}$ は、$K = \mathbb{C}(l,m)$ 上の有限次元代数であり、$t_i^d = 1$ およびすべての $i,j$ に対して $t_i t_j = t_j t_i$ を満たすフレーム生成子 $t_i$ を用いて BMW代数を拡張することで構成される。
• $F_{d,n}$ 内のブレード生成子 $g_i$ は、最小の四次関係 $g_i^4 + m g_i^3 + (m-2)g_i^2 + m(m-1)g_i - (m-1) = m l^{-1}(m + l^{-2} - 1) h_i$ を満たす。この関係はフレーム生成子 $t_i$ を含まない。
• $g_i$ はまた、閉じた五次関係 $(x - l^{-1})(x^4 + m x^3 + (m-2)x^2 + m(m-1)x - (m-1)) = 0$ を満たす。これは $t_i$ や $h_i$ を含まない最小次数の関係であり、$(x^2 + m x - 1)(x^2 + m - 1)$ に因数分解可能である。
• $F_{d,n}$ は、明確に定義されたマーカフトレースを備えている。これは、閉じた多項式関係の存在と関係の代数的閉包性から示唆され、非向き付きの絡み目の不変量の構成可能性を示唆する。
• フレーム化機構は、Temperley–Lieb代数、特異ヘッケ代数、$B$-型ヘッケ代数など、他の絡み目代数へ一般化可能であり、一貫した代数的構造とフレーム関係を有する。
• $d=1$ の場合、元の BMW代数 $C_n$ が回復され、フレーム化構成が元の代数と整合していることが確認される。