[論文レビュー] Modular Hamiltonians for Euclidean Path Integral States

Srivatsan Balakrishnan, Onkar Parrikar|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 53被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、相対論的量子場理論における半空間／リンドラー領域のモジュラーハミルトニアンについて、ユークリッド経路積分における源によって生成された励起状態に適用可能な明示的なローレンツ型公式を導出する。この公式は、源の強さに関する摂動級数として表現可能であり、特に光的変形の場合にはすべての位数の再結合が可能であり、リンドラー時空の光的断片における既知の真空モジュラーハミルトニアンと正確に一致する。

ABSTRACT

We study half-space/Rindler modular Hamiltonians for excited states created by turning on sources for local operators in the Euclidean path integral in relativistic quantum field theories. We derive a simple, manifestly Lorentzian formula for the modular Hamiltonian to all orders in perturbation theory in the sources. We apply this formula to the case of shape-deformed half spaces in the vacuum state, and obtain the corresponding modular Hamiltonian to all orders in the shape deformation in terms of products of half-sided null energy operators, i.e., stress tensor components integrated along the future and past Rindler horizons. In the special case where the shape deformation is purely null, our perturbation series can be resummed, and agrees precisely with the known formula for vacuum modular Hamiltonians for null cuts of the Rindler horizon. Finally, we study some universal properties of modular flow (corresponding to Euclidean path integral states) of local operators inside correlation functions in conformal field theories. In particular, we show how the flow becomes the local boost in the limit where the operator being flowed approaches the entanglement cut.

研究の動機と目的

• 相対論的量子場理論の半空間領域における真空状態を超えた一般化された明示的ローレンツ型モジュラーハミルトニアンの表現を構築すること。
• ユークリッド経路積分形式における局所的源によって生成される励起状態に、モジュラーハミルトニアンの摂動的手法を拡張すること。
• 真空状態における形状変形された半空間領域のモジュラーハミルトニアンを導出し、半側光的エネルギー演算子の積の形で表現すること。
• 光的変形における摂動級数が正確に再結合可能であることを示し、リンドラー時空の光的断片における既知の真空モジュラーハミルトニアンを回復すること。
• 特にエンタングルメント断面に近づく極限において、共形場理論における局所的演算子のモジュラーフローの普遍的性質を調査すること。

提案手法

• 源の強さλにおけるモジュラーハミルトニアンの摂動展開を行い、ユークリッド経路積分における局所的演算子に結合する源を介して、励起状態を真空状態の摂動とみなす。
• 摂動論的理論のすべての位数において閉じた式としてのモジュラーハミルトニアンの表現を導出する。式 (3) で与えられ、時-orderされたモジュラーフローされた演算子の積を含む。
• 真空モジュラーハミルトニアンKによる共役を用いて、式 (6) に示すように、モジュラーフローによって定義される時序演算子O(s,Y)を導入する。
• レプリカ法とユークリッド経路積分状態への解析接続を用い、モジュラーハミルトニアンのローレンツ型表現を可能にする。
• 段階関数と順序変数のトポロジカルソートを用いて、特にT項とP項の和分において摂動級数を再編成・簡略化する。
• 順列を2進数列に写像することで、摂動級数内の項同士のキャンセルメカニズムを特定し、簡略化された最終式へと導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド経路積分における源によって生成された励起状態における、相対論的QFTのモジュラーハミルトニアンについて、明示的なローレンツ型公式を導出可能か？
• RQ2 真空状態における形状変形された半空間領域のモジュラーハミルトニアンは、変形プロファイルにどのように依存するか。また、ストレステンソル成分の積として表現可能か？
• RQ3 特に純粋な光的変形のような特別な場合において、源の展開におけるモジュラーハミルトニアンの摂動級数は正確に再結合可能か？
• RQ4 局所的演算子のモジュラーフローがエンタングルメント断面に近づく極限において、共形場理論でどのような普遍的挙動が現れるか？
• RQ5 モジュラーフローとそれによって得られるハミルトニアンの解析的構造は、ホログラフィック理論におけるエンタングルメントウェッジの幾何構造とどのように関係するか？

主な発見

• ユークリッド経路積分状態におけるモジュラーハミルトニアンは、すべての摂動位数において明示的なローレンツ型表現として導出され、式 (3) で与えられる。この式は、モジュラーフローされた演算子の時序積を含む。
• 真空状態における形状変形された半空間領域では、モジュラーハミルトニアンが半側光的エネルギー演算子の積の和として表現され、将来および過去のリンドラー時空に沿ったストレステンソル成分の積分に対応する。
• 純粋な光的変形の場合、摂動級数は正確に再結合可能であり、その結果はリンドラー時空の光的断片における既知の真空モジュラーハミルトニアンと一致する。
• 共形場理論における局所的演算子のモジュラーフローは、演算子がエンタングルメント断面に近づく極限で局所的ブースト対称性に近づくことが示され、普遍的な幾何的挙動が明らかになる。
• 摂動級数内の項同士のキャンセルメカニズムが特定され、順序変数の順列を2進数列に写像することで実現され、簡略化と正確な結果が得られる。
• 導出により、モジュラーハミルトニアンの構造と、エンタングルメント領域の因果的および幾何的構造との直接的な関係が確立される。特にリンドラー時空とモジュラーフローの役割を通じて顕在化する。