[論文レビュー] Modular Hecke Algebras and their Hopf Symmetry

Alain Connes, Henri Moscovici|ArXiv.org|Jan 9, 2003

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、モジュラー形式の代数とヘッケ作用素の作用を統一するクロス積代数としてのモジュラー・ヘッケ代数を導入し、ホップ代数 $χ_1$ に支配される深い対称性を明らかにする。主な貢献は、シュワルツィアン1-コサイクル、ランキン＝コーン・ブラケット拡張、ゴドビロン＝ヴェー1-コサイクルの3つのホップ循環コサイクルの同定であり、それぞれエイゼンスタイン級数および非可換幾何学の観点から明確な幾何的・算術的解釈を持つ。

ABSTRACT

We introduce and begin to analyse a class of algebras, associated to congruence subgroups, that extend both the algebra of modular forms of all levels and the ring of classical Hecke operators. At the intuitive level, these are algebras of `polynomial coordinates' for the `transverse space' of lattices modulo the action of the Hecke correspondences. Their underlying symmetry is shown to be encoded by the same Hopf algebra that controls the transverse geometry of codimension 1 foliations. Its action is shown to span the `holomorphic tangent space' of the noncommutative space, and each of its three basic Hopf cyclic cocycles acquires a specific meaning. The Schwarzian 1-cocycle gives an inner derivation implemented by the level 1 Eisenstein series of weight 4. The Hopf cyclic 2-cocycle representing the transverse fundamental class provides a natural extension of the first Rankin-Cohen bracket to the modular Hecke algebras. Lastly, the Hopf cyclic version of the Godbillon-Vey cocycle gives rise to a 1-cocycle on PSL(2, Q) with values in Eisenstein series of weight 2, which when coupled with the `period' cocycle yields a representative of the Euler class.

研究の動機と目的

• モジュラー形式の代数的構造とヘッケ作用素の作用を、1つの非可換代数的枠組みに統合すること。
• ヘッケ対応による格子の非可換空間の横断的幾何を支配する背後にあるホップ代数対称性 $\mathcal{H}_1$ を特定すること。
• $\mathcal{H}_1$ の3つの基本的ホップ循環コサイクルをモジュラー形式および算術幾何の観点から解釈すること。
• ホップ循環コhomologyを用いて、古典的なランキン＝コーンブラケットおよびオイラー類の構成をモジュラー・ヘッケ代数の設定に拡張すること。

提案手法

• モジュラー形式に値をとる有限台付き写像で、共変性条件を満たすものとして与えられる、$\Gamma\backslash\mathrm{GL}^+(2,\mathbb{Q})$ 上のクロス積代数としてモジュラー・ヘッケ代数 $\mathcal{A}(\Gamma)$ を構成する。
• $\mathcal{H}_1$ の作用を生成子 $X$, $Y$, および $\delta_n$ を用いて実現する。ここで $Y$ は重みのグレーディング作用素として作用し、$X$ はデデキンドのエータ関数の対数微分を補正するラマヌジャン型微分作用素として働き、$\delta_n$ は $\mathrm{GL}^+(2,\mathbb{Q})$ 上の一般化コサイクルを介して作用する。
• ヘッケ対応と $S^1$ 上の微分同相写像との間に幾何的類似性を確立する。ここでエイケラー積分 $Z$ が角度変数の役割を果たし、導関数 $\phi'$ の代わりにヤコビアン $J(\gamma)$ が果たす。
• 指数写像の2次ジャンプと接続曲率を用いて、ゴドビロン＝ヴェー1-コサイクルの引き戻しを計算し、それを $\delta_1$-作用と、フレーム bundle 上での積分を通じてボット＝サーストンコサイクルに結びつける。
• $\mathcal{A}(\Gamma)$ 上の $\delta_1$-作用が、重み2のエイゼンスタイン級数値をとる $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Q})$ 上の1-コサイクルとして実現され、周期コサイクルと組み合わせることで、オイラー類の代表元が得られることを示す。
• 横断的基本類を表すホップ循環2-コサイクルが、第一ランキン＝コーンブラケットをモジュラー・ヘッケ代数の設定に自然に拡張することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー形式の代数的構造とヘッケ作用素の作用を、1つの非可換代数的構造に統合する方法は何か？
• RQ2 $\mathcal{H}_1$ は、ヘッケ対応による格子の非可換空間の対称性をどのように記述するか？
• RQ3 $\mathcal{H}_1$ の3つの基本的ホップ循環コサイクルは、モジュラー形式の文脈において、どのように幾何的・算術的に現れるか？
• RQ4 ホップ循環コhomologyを用いて、第一ランキン＝コーンブラケットをモジュラー・ヘッケ代数に自然に拡張できるか？
• RQ5 ゴドビロン＝ヴェー・コサイクルの幾何的解釈は、モジュラー形式およびオイラー類の観点からどのように理解できるか？

主な発見

• 生成子 $X$ の $\mathcal{A}(\Gamma)$ 上の作用は、通常の微分からデデキンドのエータ関数の対数微分を補正するラマヌジャン型微分作用素として実現される。
• 生成子 $Y$ はオイラー作用素として作用し、モジュラー形式の重みによるグレーディングを実現する。これにより、モジュラー形式の斉次性が符号化される。
• シュワルツィアン微分に対応するホップ循環1-コサイクルは、重み4のレベル1エイゼンスタイン級数によって実現される内部導来として実現される。
• 横断的基本類を表すホップ循環2-コサイクルは、第一ランキン＝コーンブラケットをモジュラー・ヘッケ代数の設定に自然に拡張するものであり、古典的構成を一般化する。
• 重み2のエイゼンスタイン級数値をとる $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Q})$ 上のゴドビロン＝ヴェー型1-コサイクルは、周期コサイクルと組み合わせることで、群コhomologyにおけるオイラー類の代表元を生成する。
• 指数写像の2次ジャンプによるゴドビロン＝ヴェー1-コサイクルの引き戻しは、分数線形変換の導関数の対数微分を含むコhomologous代表元を導き、スチュアートンの公式およびボット＝サーストンコサイクルと結びつく。