[論文レビュー] Modular invariance of vertex operator algebras satisfying C_2-cofiniteness

Masahiko Miyamoto|ArXiv.org|Sep 10, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、頂点作用素代数（VOA）における$C_2$-cofinitenessが、一般化された特徴関数空間のモジュラー不変性および中心指数と自己随伴重みの有理数性を示すことを確立する。擬トレース関数を導入し、対称代数技法を活用することで、著者は一般化された特徴関数の空間が$SL_2(\mathbb{Z})$-不変であることを証明し、Zhu代数の半単純性を仮定しなくても、$C_2$-cofinitenessが有理的 conformal field theory の性質を満たすことを確認する。

ABSTRACT

We show that C_2-cofiniteness is enough to prove a modular invariance property of vertex operator algebras without assuming the semisimplicity of Zhu algebra. For example, if a VOA V=\oplus_{m=0}^{\infty}V_m is C_2-cofinite, then the space spanned by generalized characters of V-modules is invariant under the action of SL_2(\Z). In this case, the central charge and conformal weights are all rational numbers. Namely, a VOA satisfying C_2-cofiniteness is a rational conformal field theory in a sense. We also show that C_2-cofiniteness is equivalent to the condition that every weak module is an \N-graded weak module which is a direct sum of generalized eigenspaces of L(0).

研究の動機と目的

• Zhu代数の半単純性を仮定せず、$C_2$-cofinitenessがVOAにおけるトレース関数のモジュラー不変性を示すかを特定すること。
• 未解決の問題である、$C_2$-cofinitenessが有理的 conformal field theory（RCFT）構造を示すかを解消すること。
• 一般化された特徴関数（真空の擬トレース関数）の空間が$C_2$-cofinitenessのもとで$SL_2(\mathbb{Z})$-不変であることを確立すること。
• $C_2$-cofinitenessが、すべての弱モジュールが$L(0)$の一般化固有空間の直和である条件と同値であることを示すこと。

提案手法

• Zhu代数$A(V)$上の対称線形写像を用いて、標準的トレース関数を一般化した擬トレース関数を導入すること。
• 相互に接続されたモジュールに対して、関数$\phi$に関する$\mathrm{tr}^\phi_W q^{L(0) - c/24}$として一般化された特徴関数を定義すること。
• $C_2$-cofinitenessと弱モジュールの$L(0)$一般化固有空間分解の同値性を用いて、$q$-展開が適切に定義されることを保証すること。
• 擬トレース関数の空間にモジュラー変換性を適用し、対数項を再帰的に消去することで、$SL_2(\mathbb{Z})$による不変性を示すこと。
• $V/C_2(V)$の有限次元性を活用して有効中心指数を評価し、自己随伴重みの有理数性を導出すること。
• 補題2.4からの生成集合の議論を用いて、特徴関数の成長を制御し、$\mathbb{C}[[q]]\left[\tau\right]$における収束性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C_2$-cofinitenessが、頂点作用素代数における特徴関数空間のモジュラー不変性を示すか？
• RQ2 Zhu代数$A(V)$の半単純性を仮定せず、モジュラー不変性の性質を確立できるか？
• RQ3 $C_2$-cofinitenessは、すべての弱モジュールが$L(0)$の一般化固有空間の直和である条件と同値か？
• RQ4 $C_2$-cofinitenessは、中心指数と自己随伴重みが有理数であることを示すか？
• RQ5 一般化された特徴関数は、$\mathbb{C}[\tau]$の係数を用いた通常の特徴関数の線形結合として表現できるか？

主な発見

• Zhu代数$A(V)$の半単純性を仮定せず、$C_2$-cofinitenessのもとで、一般化された特徴関数が張る空間は$SL_2(\mathbb{Z})$-不変である。
• すべての自己随伴重みと中心指数$c$は、$C_2$-cofinite VOAにおいて有理数である。
• 有効中心指数は、$\tilde{c} \leq \frac{\dim(V/C_2(V)) - 1}{2}$を満たす。
• 一般化された特徴関数は、$\mathbb{C}[\tau]$の係数を用いた通常の特徴関数の線形結合として表現できる（命題5.9で示された）。
• すべての弱モジュールが$L(0)$の一般化固有空間の直和であることは、$V$が$C_2$-cofiniteであることと同値である。
• 一般化された特徴関数空間を考慮すれば、対数的モジュールが存在しても特徴関数空間のモジュラー不変性は保たれる。