[論文レビュー] Modular Parametrizations of Neumann-Setzer Elliptic Curves

William Stein, Mark E. Watkins|ArXiv.org|Apr 19, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、素数導子 $p = u^2 + 64$ を持つNeumann–Setzer楕円曲線 $E_0$ のモジュラー次数が、$u \equiv 3 \pmod{8}$ である場合にかつその場合に限り奇数であることを、モジュラー形式およびヘッケ代数の技法を用いて確立している。さらに、$E_1$ が $X_1(p)$ の最適商であることを証明し、Faltings高さの最小化に関するGlenn Stevensの予想の素数導子の場合を確認している。

ABSTRACT

Suppose $p$ is a prime of the form $u^2+64$ for some integer $u$, which we take to be 3 mod 4. Then there are two Neumann--Setzer elliptic curves $E_0$ and $E_1$ of prime conductor $p$, and both have Mordell--Weil group $\Z/2\Z$. There is a surjective map $X_0(p)\xrightarrowπ E_0$ that does not factor through any other elliptic curve (i.e., $π$ is optimal), where $X_0(p)$ is the modular curve of level $p$. Our main result is that the degree of $π$ is odd if and only if $u \con 3\pmod{8}$. We also prove the prime-conductor case of a conjecture of Glenn Stevens, namely that that if $E$ is an elliptic curve of prime conductor $p$ then the optimal quotient of $X_1(p)$ in the isogeny class of $E$ is the curve with minimal Faltings height. Finally we discuss some conjectures and data about modular degrees and orders of Shafarevich--Tate groups of Neumann--Setzer curves.

研究の動機と目的

• 素数導子 $p = u^2 + 64$ を持つNeumann–Setzer楕円曲線 $E_0$ のモジュラー次数の偶奇を特定すること。
• $E_1$ が $X_1(p)$ の最適商であることを証明し、Glenn Stevensが提唱した最小Faltings高さに関する予想を支援すること。
• Neumann–Setzer曲線のShafarevich–Tate群における $p$-可除性の分布を調査すること。
• 無限個のモジュラー次数が奇数である楕円曲線が存在する証拠を提供すること。

提案手法

• 特に、Eisensteinイデアル $\mathfrak{m}$ がMordell–Weil群に作用するという点を含め、ヘッケ代数の理論およびモジュラーパラメトライゼーションを用いる。
• MazurのEisensteinイデアルに関する結果を応用し、2- torsion 構造およびモジュラーパラメトライゼーション $\pi: X_0(p) \to E_0$ の核を分析する。
• モジュラー次数 $m$ が $m^2 = \#(B \cap E_0)$ を満たすという事実（ここで $B = \ker(J \to E_0)$）を根拠に、次数と有限部分群の位数を関連付ける。
• 他の楕円曲線を経由しない最適パラメトライゼーション $\pi$ を用いることで、モジュラー次数が正しく定義されかつ最小であることを保証する。
• CremonaのテーブルのデータとWatkins（2002）の計算結果を用いて、モジュラー次数の $p$-進評価を分析する。
• Faltings高さ $E_1$ と $E_0$ を比較することで、$E_1$ がその同種類の中で最小のFaltings高さを持つことを示し、素数導子の場合に Stevens の予想を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数導子 $p = u^2 + 64$ を持つNeumann–Setzer曲線 $E_0$ のモジュラー次数が奇数であるのはいつか？
• RQ2 $E_1$ は $X_1(p)$ の最適商であるか？ また、その同種類の中で最小のFaltings高さを持つか？
• RQ3 Neumann–Setzer曲線のShafarevich–Tate群を割る素数の分布は何か？ また、$u \mod 8$ に依存するか？
• RQ4 有理数体上に、モジュラー次数が奇数である楕円曲線が無限個存在するか？
• RQ5 モジュラー次数の 2-進評価は、$u \equiv 7 \pmod{8}$ のときどのように振る舞うか？

主な発見

• 曲線 $E_0$ のモジュラー次数が奇数であることと、$u \equiv 3 \pmod{8}$ であることは同値であり、次数の偶奇に関する明確な算術的条件を確立した。
• $E_1$ は $X_1(p)$ の最適商であり、その同種類の中で最小のFaltings高さを持つ。これにより、素数導子の場合のStevensの予想が確認された。
• $J_0(N)$ の最適楕円曲線商で $N < 8000$ の場合、全29,755例中、わずか89例が奇数のモジュラー次数を持つ。これはその稀少性を示している。
• 素数導子 $N \leq 10^7$ のNeumann–Setzer曲線でない52,878例のうち、8%が奇数のモジュラー次数を持つ。これはNeumann–Setzer曲線が奇数次数を有する確率がより高いことを示唆している。
• データから、$u \equiv 7 \pmod{16}$ のとき、モジュラー次数の2-進評価は正確に1であることが分かっており、これは修正された予想を支持する。
• 素数 $\ell$ がNeumann–Setzer曲線のShafarevich–Tate群を割る頻度は、$u$ の3, 5, 8を法とした合同条件に依存しており、特に $\ell=3$ は約36%の確率で $\Sha$ を割る。