[論文レビュー] Modular representations and branching rules for wreath Hecke algebras

Jinkui Wan, Weiqiang Wang|ArXiv.org|Jun 2, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の有限群 $G$ に対して、非退化アフィンヘッケ代数を一般化するワルスヘッケ代数 $χ_n(G)$ を導入し、特性 $p \geq 0$ の代数的に閉じた体上のモジュラー表現理論を確立する。主な結果は、ワルスヘッケ代数のモジュール圏と非退化アフィンヘッケ代数の積の間の同値性であり、これにより単純モジュールの分類とモジュラー分岐則の特定が可能となり、$p$ が $|G|$ を割り切らないときには、これらが量子アフィン代数の整形式モジュールのクリスタルグラフと一致することが示される。この構成により、対称群や巡回ヘッケ代数の既知の結果がワルス積構造へと拡張される。

ABSTRACT

We introduce a generalization of degenerate affine Hecke algebra, called wreath Hecke algebra, associated to an arbitrary finite group G. The simple modules of the wreath Hecke algebra and of its associated cyclotomic algebras are classified over an algebraically closed field of any characteristic p. The modular branching rules for these algebras are obtained, and when p does not divide the order of G, they are further identified with crystal graphs of integrable modules for quantum affine algebras. The key is to establish an equivalence between a module category of the (cyclotomic) wreath Hecke algebra and its suitable counterpart for the degenerate affine Hecke algebra.

研究の動機と目的

• 任意の有限群 $G$ に対して非退化アフィンヘッケ代数を一般化し、ワルスヘッケ代数 $\mathcal{H}_n(G)$ を定義すること。
• 任意の特性 $p \geq 0$ の体上でのこの代数の単純モジュールを分類し、モジュラー分岐則を導出すること。
• ワルスヘッケ代数のモジュール圏と非退化アフィンヘッケ代数の積のモジュール圏との間のカテゴリカル同値性を確立すること。
• 特性 $p$ が $|G|$ を割り切らないとき、モジュラー分岐則が量子アフィン代数の整形式モジュールのクリスタルグラフと一致することを特定すること。
• 巡回商とグロテンディーク群の実現を通じて、ワルス積 $G_n = G^n \rtimes S_n$ の表現理論をモジュラー設定へと体系的に拡張すること。

提案手法

• 非退化アフィンヘッケ代数の一般化としてワルスヘッケ代数 $\mathcal{H}_n(G)$ を定義し、PBW基底と明示的な中心の同定を伴う。
• 完全な部分カテゴリ構成を用いて、$\mathcal{H}_n(G)$-モジュールと $\mathcal{H}_{n_k}$-モジュールの積の間のカテゴリカル同値性を確立する。
• カテゴリカル同値性を用いて、$\mathcal{H}_n(G)$-モジュールの単純モジュールの分類問題を既知の $\mathcal{H}_n$ の分類に還元する。
• 有限次元商としての巡回ワルスヘッケ代数 $\mathcal{H}_n^\lambda(G)$ を導入し、$\mathbb{F}G_n$ を最小の場合とする。
• $\mathcal{H}_n^\lambda(G)$-モジュールのグロテンディーク群に $\widehat{\mathfrak{sl}}_p^{\oplus r}$ の作用を構成し、それが $L(\lambda[1]) \otimes \cdots \otimes L(\lambda[r])$ に同型であることを示す。
• グロテンディーク群上の Kashiwara 演算子 $\tilde{e}_i^\lambda$ と $\tilde{f}_i^\lambda$ を用いて、モジュラー分岐則をクリスタルグラフ構造として特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非退化アフィンヘッケ代数を、任意の有限群 $G$ のワルス積構造を含む形にどのように一般化できるか？
• RQ2 任意の特性 $p \geq 0$ の体上でのワルスヘッケ代数 $\mathcal{H}_n(G)$ の単純モジュールの構造はどのようなものか？
• RQ3 $\mathcal{H}_n(G)$ のモジュラー分岐則は、量子アフィン代数のクリスタルグラフとどのように関係するか？
• RQ4 グロテンディーク群は、これらの代数に対して量子アフィン代数の整形式表現をどのように実現するか？
• RQ5 この枠組みを用いて、特性正の整数におけるワルス積 $G_n = G^n \rtimes S_n$ の表現理論を体系的に展開できるか？

主な発見

• ワルスヘッケ代数 $\mathcal{H}_n(G)$ は非退化アフィンヘッケ代数 $\mathcal{H}_n$ を一般化しており、$G$ が自明なときには $\mathcal{H}_n(G) \cong \mathcal{H}_n$ である。
• $\mathcal{H}_n(G)$ のモジュール圏と、より小さい非退化アフィンヘッケ代数のモジュール圏の積の間のカテゴリカル同値性が確立され、分類問題の還元が可能になる。
• この同値性を用いて、有限次元単純 $\mathcal{H}_n(G)$-モジュールの分類が、既知の $\mathcal{H}_n$ の分類に還元される。
• $p \nmid |G|$ のとき、$\mathcal{H}_n(G)$ のモジュラー分岐則は、整形式 $U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_p^{\oplus r})$-モジュール $L(\lambda[1]) \otimes \cdots \otimes L(\lambda[r])$ のクリスタルグラフと同型である。
• グロテンディーク群 $K_G(\lambda)_{\mathbb{C}}$ は、$L(\lambda[1]) \otimes \cdots \otimes L(\lambda[r])$ に同型な単純 $\widehat{\mathfrak{sl}}_p^{\oplus r}$-モジュールをなす。Chevalley生成子は Kashiwara 演算子として作用する。
• $p = 0$ のとき、非整数の巡回商を用いることで、この枠組みは $\widehat{\mathfrak{sl}}_\infty^{\oplus r}$ へと拡張され、クリスタルグラフ解釈が保存される。