[論文レビュー] Modular representations of reductive groups and geometry of affine Grassmannians

Daniel Juteau|ArXiv.org|Apr 14, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、幾何的サタケ同型を用いて、再帰的群の分解数をアフィングラスマンニアン上の等変 perverse ホモロジーの茎として解釈することで、幾何的表現論的双対性を確立する。特徴的依存の分解数を用いて特異点の非滑らかさおよび非同値性を示し、捩れの自由性に関する予想に対して反例を提示し、悪いかい素数を除外する形で修正する。

ABSTRACT

By the geometric Satake isomorphism of Mirkovic and Vilonen, decomposition numbers for reductive groups can be interpreted as decomposition numbers for equivariant perverse sheaves on the complex affine Grassmannian of the Langlands dual group. Using a description of the minimal degenerations of the affine Grassmannian obtained by Malkin, Ostrik and Vybornov, we are able to recover geometrically some decomposition numbers for reductive groups. In the other direction, we can use some decomposition numbers for reductive groups to prove geometric results, such as a new proof of non-smoothness results, and a proof that some singularities are not equivalent (a conjecture of Malkin, Ostrik and Vybornov). We also give counterexamples to a conjecture of Mirkovic and Vilonen stating that the stalks of standard perverse sheaves over the integers on the affine Grassmannian are torsion-free, and propose a modified conjecture, excluding bad primes.

研究の動機と目的

• 再帰的群の分解数の幾何的解釈を、幾何的サタケ同型を用いて確立すること。
• アフィングラスマンニアンにおける最小退化の既知の幾何的データを活用して、モジュラー表現論的不変量を計算すること。
• 正標数における分解数の分析を通じて、非滑らかさや特異点の非同値性といった幾何的結果を証明すること。
• ミルコビッチとヴィロネンが提唱した、Z 上の perverse ホモロジーの茎の捩れの自由性に関する予想を反証し、悪いかい素数を除外する形で修正版を提示すること。

提案手法

• 再帰的群 G の表現とそのラングランス双対のアフィングラスマンニアン上の等変 perverse ホモロジーの間の幾何的サタケ同値性を活用する。
• マルキン、オストリック、ヴィボルノのアフィングラスマンニアンにおける最小退化に関する結果を応用し、特異点を単純特異点または最小特異点として特定する。
• 幾何学的レヴィ補題を用いて表現論的結果を模倣し、軌道閉包と重みの隣接性を結びつける。
• 正標数における交差コホモロジーの茎を用いて、特に支配的短根に関連する重みに対して、ウェイル加群の分解数を計算する。
• 強い連結原理を適用し、異なる素数 ℓ に対して異なる分解数が得られることで、特異点の非同値性を示す。
• 標数 ℓ の分解数を用いて非滑らかさを証明する：dλμ ≠ 0 mod ℓ ならば、最小退化は Fℓ-滑らかでないため、一般に滑らかでない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的群の分解数は、アフィングラスマンニアンの構造から幾何的に回復可能か？
• RQ2 Mirković と Vilonen が提唱した予想によれば、Z 上の標準 perverse ホモロジーの茎は捩れの自由であるが、これは正しいか？
• RQ3 特異点 a_n, ac_n, ag_2, cg_2 は幾何的に同値であり得るか？ これはモジュラー表現論によって検出可能か？
• RQ4 アフィングラスマンニアンにおける軌道閉包の非滑らかさは、モジュラー分解数を用いて証明可能か？
• RQ5 悪いかい素数は、アフィングラスマンニアン上の交差コホモロジーの茎の捩れ挙動にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 再帰的群の分解数、たとえば ℓ が 2n+1 を割るとき dλμ = 1、それ以外は 0 であるようなものも、アフィングラスマンニアンにおける最小退化から幾何的に回復される。
• Mirković–Vilonen 予想における Zℓ-茎の捩れの自由性について、反例を提示し、悪いかい素数では捩れが生じ得ることを示す。
• 修正された予想を提示：アフィングラスマンニアン上の標準 perverse ホモロジーの茎は、ℓ が良い素数であれば捩れの自由である。
• a_n と ac_n のような特異点の非同値性は、ある素数 ℓ に対して分解数が異なることにより証明される。なぜなら n+1 と 2n+1 は互いに素であるからである。
• アフィングラスマンニアンにおける軌道閉包の滑らか領域が、正標数における非自明な分解数を用いて、正確にその軌道そのものであることが示される。
• Spin_{2n+1} の準最小特異点 ac_n に対して、ℓ が 2n+1 を割るとき dλμ = 1、それ以外は 0 であることが示され、このような素数に対して Fℓ 上で非滑らかであることが証明される。