[論文レビュー] Modular transformation and bosonic/fermionic topological orders in Abelian fractional quantum Hall states

Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Quantum and electron transport phenomena参考文献 1被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、モジュラー変換における非アーベル幾何的位相を用いて、アーベル分数量子ホール状態における2次元トポロジカルオーダーを完全に特徴づけている。非アーベル幾何的位相、特にモジュラーS行列とT行列が、準粒子の anyon 統計と、24を法とする手前のチラル中心電荷Δcを含む、物理的に測定可能なトポロジカルオーダーの完全不変量を符号化していることを示している。

ABSTRACT

The non-Abelian geometric phases of the robust degenerate ground states were proposed as physically measurable defining properties of topological order in 1990. In this paper we discuss in detail such a quantitative characterization of topological order, using generic Abelian fractional quantum Hall states as examples. We find a way to determine even the pure U(1) phase of the non-Abelian geometric phases. We show that the non-Abelian geometric phases not only contain information about the quasi-particle statistics, they also contain information about the chiral central charge Delta c mod 24 of the edge states, as well as the Hall viscosity. Thus, the non-Abelian geometric phases (both the Abelian part and the non-Abelian part) provide a quite complete way to characterize 2D topological order.

研究の動機と目的

• アーベル分数量子ホール状態における2次元トポロジカルオーダーの、物理的に測定可能な完全な特徴づけを提供すること。
• アーベルU(1)位相と非アーベル部分を含む、非アーベル幾何的位相の完全な構造を特定すること。
• モジュラー変換（SおよびT）が、anyon統計と24を法とするチラル中心電荷Δc mod 24の両方を符号化していることを示すこと。
• 非アーベル幾何的位相がSL(2,Z)の表現をなしており、トポロジカルオーダーの完全不変量を提供することを確立すること。

提案手法

• トーラス上の一般波動関数を定義するため、アーベルFQH状態の(K, q, s)特徴づけを用いる。
• ユニタリ演算子U(M_S)およびU(M_T)を用いて、多体波動関数にモジュラー変換（S: τ → -1/τ、T: τ → τ+1）を適用する。
• 移動演算子T1、T2およびモジュラー演算子S、Tの変換則を導出し、それらの代数的関係を示す。
• theta関数およびその変換性質を用いて、SおよびTが波動関数に与える作用を計算する。
• モジュラーおよび移動操作における位相因子の分析を通じて、幾何的位相のU(1)位相成分を特定する。
• モジュラーSおよびT行列が、トポロジカルオーダー、特に24を法とするチラル中心電荷Δc mod 24を完全に符号化していることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー変換における非アーベル幾何的位相は、アーベルFQH状態における2次元トポロジカルオーダーを完全に特徴づけられるか？
• RQ2 非アーベル幾何的位相の純粋なU(1)位相は、どのように抽出され、物理的にどのように解釈できるか？
• RQ3 モジュラーSおよびT行列に、エッジ理論（例：24を法とするチラル中心電荷Δc mod 24）に関するどのような情報が符号化されているか？
• RQ4 モジュラーSおよびT変換は、トーラス上の一般アーベルFQH状態の多体波動関数にどのように作用するか？
• RQ5 幾何的位相によって形成されるモジュラー表現は、すべてのトポロジカルオーダーを区別するのに十分か？

主な発見

• 非アーベル幾何的位相、すなわちアーベルU(1)位相と非アーベル部分を含むものすべてが、SおよびT行列によって生成されるSL(2,Z)の表現をなしている。
• モジュラーSおよびT行列が、FQH状態の完全なanyon統計を符号化しており、これが完全なトポロジカル不変量としての役割を果たしていることを確認した。
• エッジ理論のチラル中心電荷Δc mod 24は、モジュラーSおよびT変換に符号化されており、特にS行列の位相因子に現れる。
• モジュラーおよび移動操作における位相因子の明示的計算を通じて、幾何的位相のU(1)位相が特定された。
• ホール粘性も非アーベル幾何的位相に符号化されており、バルクのトポロジカルオーダーと輸送性質を結びつける。
• モジュラー変換代数（S⁴ = (ST)⁶ = 1）が基底状態多様体上で実現されており、波動関数のトポロジカル性を裏付けた。