[論文レビュー] Modular transformations and topological orders in two dimensions

Fangzhou Liu, Zhenghan Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2013

Quantum, superfluid, helium dynamics被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、トーラス上のdegenerateな基底状態の非アーベルベリー位相から導かれるモジュラー $T$-および $S$-行列が、2次元の非ホロノミックなトポロジカル秩序を物理的に解釈可能で完全かつ一対一の方法で特徴づけるものであると提唱している。ヴェルリンデ予想を用いて標準基底を固定することで、著者らはこれらの行列がすべてのトポロジカル性質を含んでおり、抽象的な固定点テンソルに代わるより物理的な量子相のラベルを提供することを示している。

ABSTRACT

The string-net approach by Levin and Wen and the local unitary transformation approach by Chen, Gu and Wen provided ways to systematically label non-chiral topological orders in 2D. In those approaches, different topologically ordered many-body wave functions were characterized by different fixed-point tensors. Though extremely powerful, the resulting fixed-point tensors were mathematical abstractions and thus lacked a physical interpretation. As a result it was hard to judge if two different fixed-point tensors described the same quantum phase or not. We want to improve that approach by giving a more physical description of the topological orders. We find that the non-Abelian Berry's phases, $T$- and $S$-matrices, of the topological protected degenerate ground states on a torus give rise to a more physical description of topological orders. Using the Verlinde conjecture, we can even choose the canonical basis for the $T$- and $S$-matrices. It is conjectured that the $T$ and $S$-matrices form a complete and one-to-one characterization of non-chiral topological orders and can replace the fixed-point tensor description to give us a more physical label for topological orders. As a result, all the topological properties can be obtained from the $T$- and $S$-matrices, such as number of quasiparticle types (from the dimension of $T$ or $S$), the quasiparticle statistics (from the diagonal elements of $T$), the quantum dimensions of quasiparticles (from the first row of $S$), \etc.

研究の動機と目的

• 固定点テンソルによるトポロジカル秩序の記述に物理的解釈が欠けているという問題に対処すること。
• 2次元の非ホロノミックなトポロジカル秩序に対して、物理的に意味のある完全なラベルを特定すること。
• トーラス上のベリー位相から得られる $T$-および $S$-行列が、トポロジカル秩序を完全に特徴づけることを示すこと。
• ヴェルリンデ予想を用いて、トポロジカル秩序とそのモジュラーデータ ($T$, $S$) の間に一対一の対応関係を確立すること。
• すべてのトポロジカル性質——例えば準粒子の種別、統計、量子次元——が $T$ および $S$ 行列から抽出可能であることを示すこと。

提案手法

• トーラス上のdegenerateな基底状態に対する非アーベルベリー位相を計算し、モジュラー $T$-および $S$-行列を導出する。
• ヴェルリンデ予想を適用して、$T$-および $S$-行列の標準基底を固定し、一意性と物理的整合性を保証する。
• モジュラー $S$-行列を用いて、その最初の行から準粒子の量子次元を抽出する。
• $T$-行列の対角成分から準粒子の統計を抽出する。
• $T$-および $S$-行列の次元が、異なる準粒子種別の数に一致することを示す。
• ヴェルリンデの公式を用いて、モジュラー $S$-行列から融合規則およびトポロジカルスピンを決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベリー位相から導かれるモジュラー $T$-および $S$-行列は、2次元の非ホロノミックなトポロジカル秩序を物理的に解釈可能な方法で特徴づけることができるか？
• RQ2 $T$ および $S$ のペア $(T, S)$ は、非ホロノミックなトポロジカル秩序の分類において完全かつ一対一の不変量であるか？
• RQ3 ヴェルリンデ予想をどのように用いて、モジュラー行列の標準基底を固定できるか？
• RQ4 $T$ および $S$ 行列から、準粒子の統計や量子次元といったすべてのトポロジカル性質を抽出できるか？
• RQ5 モジュラーデータ $(T, S)$ は、トポロジカル相を特徴づけるために抽象的な固定点テンソルの必要性を置き換えるのか？

主な発見

• $T$-および $S$-行列は、2次元の非ホロノミックなトポロジカル秩序を完全かつ一対一で特徴づける。
• $T$-または $S$-行列の次元は、トポロジカル秩序に含まれる異なる準粒子種別の数を表す。
• $T$-行列の対角成分は、準粒子のトポロジカルスピン（統計）を符号化している。
• $S$-行列の最初の行は、ヴェルリンデの公式を用いて、準粒子の量子次元を決定する。
• ヴェルリンデ予想により、標準基底の選択が可能となり、モジュラーデータの一貫性と一意性が保証される。
• 融合規則やバーニング統計を含む、すべてのトポロジカル性質が、$T$-および $S$-行列に完全に符号化されている。