[論文レビュー] Modular transformations of the elliptic hypergeometric functions, Macdonald polynomials, and the shift operator

Giovanni Felder, L. Stevens+1 more|ArXiv.org|Mar 6, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、楕円的超幾何積分を用いて、トーラス上の $\mathfrak{sl}_2$ WZW模型の conformal block における modular S 変換作用の明示的公式を導出する。これは、$A_1$-Macdonald 多項式の単位根における値と modular 群の行列要素との直接的な関係を確立し、積分にストークスの定理を適用することで、移動作用素がこれらの多項式の再帰的構造を支配することを明らかにする。主な結果は、量子群の intertwinner の正規化 trace 関数を用いた S 行列の閉形式表現である。

ABSTRACT

We consider the space of elliptic hypergeometric functions of the sl_2 type associated with elliptic curves with one marked point. This space represents conformal blocks in the sl_2 WZW model of CFT. The modular group acts on this space. We give formulas for the matrices of the action in terms of values at roots of unity of Macdonald polynomials of the sl_2 type.

研究の動機と目的

• トーラス上の $\mathfrak{sl}_2$ WZW 模型の conformal block 空間への modular 群 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ の射影的作用を計算すること。
• 変換 $\tau \mapsto -1/\tau$ における $S$ 変換の行列要素を、単位根における $A_1$-Macdonald 多項式の値に関連付けること。
• modular 表現行列を、共役を除いてではなく、直接計算できるような、明示的基底としての楕円的超幾何積分解を提供すること。
• ストークスの定理を積分表現に適用することによって、Macdonald 多項式の再帰的構成における移動作用素の役割を明確にすること。

提案手法

• conformal block 空間は、トーラス上の KZB 熱方程式の解として特徴づけられ、周期性、準周期性、holonomy 条件を満たす。
• 楕円的超幾何積分が、conformal block の明示的積分表現として用いられ、解空間の基底を提供する。
• modular $S$-変換は、楕円曲線のモジュライ空間の普遍被覆の被覆変換におけるこれらの積分解のモノドロミーを解析することで計算される。
• S 変換の行列要素は、$U_q(\mathfrak{sl}_2)$ の根における量子群 intertwinner に関連する正規化 trace 関数 $\Psi^{(k)}(q^{-1}, \nu, \mu)$ を用いて表現される。
• ストークスの定理に基づく再帰的手続きが積分に適用され、これにより Macdonald 多項式上での移動作用素の作用が再現される。
• 関数 $f_{m,n}^{(k)}$ を $\Psi^{(k)}$ 関数と同一視することで、Macdonald 多項式の単位根における値を用いた S 行列の閉形式表現が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 modular 群 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ は、トーラス上の $\mathfrak{sl}_2$ WZW 模型の conformal block 空間にどのように射影的に作用するか？
• RQ2 S 変換の行列要素と、単位根における $A_1$-Macdonald 多項式の値との間の明確な関係は何か？
• RQ3 ストークスの定理を楕円的超幾何積分に適用することによって、再帰的構造から移動作用素はどのように生じるか？
• RQ4 S 行列は、共役を除いてではなく、積分解の正規基底において明示的に計算可能か？
• RQ5 量子群 intertwinner の trace 関数と、conformal block の modular 表現との間の関係は何か？

主な発見

• S 変換の行列要素は、$\Psi^{(k)}$ 関数を用いた明示的公式で与えられ、これは $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ の根における intertwinner の正規化 trace である。
• S 行列は、$m$ に関する和として表され、係数に $q^{pn - km - k(k+1)}$、二項係数 $\begin{bmatrix}p\ k\end{bmatrix}^{-1}$、および $\Psi^{(k)}$ 関数の差が含まれる。
• 移動作用素は $\Psi^{(k)}(q^{-1}, m, n)$ に作用して $D \Psi^{(k)} = q^{-k-1} \Psi^{(k+1)}$ を与え、Macdonald 多項式の再帰的構造と同一である。
• $A_1$-Macdonald 多項式の単位根における値が、特定の $\Psi^{(k)}$ 関数の組み合わせと一致することが示され、キリロフの定理の特別な場合が確認された。
• Schur 多項式から移動作用素による Macdonald 多項式の再帰的構成が、楕円的超幾何積分にストークスの定理を適用することによって幾何的に実現される。
• 積分基底 $f_{m,n}^{(k)}$ を正規化 trace 関数 $\Psi^{(k)}$ と明示的に同一視することで、modular 変換の閉形式表現が導出された。