[論文レビュー] Modular-type functions attached to mirror quintic Calabi-Yau varieties

Hossein Movasati|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、鏡像五次Calabi-Yau三様多様体に対するモジュラー型関数の新しい理論を構築し、ホロモーフィック3形式の周期から得られる7つの正則関数 $ t_i $ を導出し、ラマヌジャン方程式に類似した微分系を満たす。主な結果は、各 $ t_i $ が重み $ d_i $ のモジュラー型関数であり、$ q = e^{2\pi i \tau_0} $ におけるべき級数として表され、その係数は常微分方程式系から導かれる再帰的関係によって一意に決定されることである。

ABSTRACT

In this article we study a differential algebra of modular-type functions attached to the periods of a one parameter family of Calabi-Yau varieties which is mirror dual to the universal family of quintic threefolds. Such an algebra is generated by seven functions satisfying functional and differential equations in parallel to the modular functional equations of classical Eisenstein series and the Ramanujan differential equation. Our result is the first example of automorphic-type functions attached to varieties whose period domain is not Hermitian symmetric. It is a reformulation and realization of a problem of Griffiths around seventies on the existence of automorphic functions for the moduli of polarized Hodge structures.

研究の動機と目的

• 1970年代にP. グリフィスズが提唱した、非ヘルミート対称周期領域上の自己同型関数のプログラムを実現すること。
• ヘルミート対称領域に関連しない鏡像五次Calabi-Yau三様多様体に対するモジュラー型関数の理論を構築すること。
• Eisenスタイン級数のラマヌジャン微分方程式に類似した、周期から導かれる関数の微分系を確立すること。
• 五次三様多様体のユカワ結合子とグロモフ=ウィトテン不変量が、このようなモジュラー枠組みに符号化可能であることを示すこと。

提案手法

• 鏡像五次族のピカール=フクス方程式から導かれる、$ z=0 $ および $ z=1 $ に正則な特異点をもつ4階のフックス型微分方程式を解く。
• 変数変換 $ \theta = z\partial_z $、$ \psi_i(z) $、および超幾何関数の $ \epsilon $-変形を用いて、解の新しい基底を構成する。
• 関数 $ t_i $ を周期 $ x_{ij} $ の反復微分の組み合わせとして定義し、$ t_0 = x_{21} $ とし、$ \tau_0 = x_{11}/x_{21} $、$ q = e^{2\pi i \tau_0} $ とする。
• 常微分方程式系 $ \text{Ra} $ を導出し、各 $ \dot{t}_i = \partial t_i / \partial \tau_0 $ が次数 $ d_i + 1 $ の同次有理関数関係を満たすようにする。
• 各 $ t_i $ をべき級数 $ h_i(q) = \sum h_{i,n} q^n $ として表現し、初期値 $ h_{0,0} = 1/5 $、$ h_{0,1} = 24 $、$ h_{4,0} = 0 $、$ h_{5,0} \neq 0 $ を与える。
• 微分系 $ \text{Ra} $ を用いて、線形系 $ (A_0 + 5nI)T_n^\top = \text{関数 of } T_0, \dots, T_{n-1} $ を介して、$ A_0 $ を $ T_0 $ で評価することにより、すべての係数 $ h_{i,n} $ を再帰的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホッジ構造がヘルミート対称領域を形成しないCalabi-Yau多様体に対して、自己同型型関数を構築可能か？
• RQ2 鏡像五次三様多様体の周期は、モジュラー形式のラマヌジャン方程式に類似した微分系を満たすか？
• RQ3 非ヘルミート設定下で、周期積分を介してユカワ結合子とグロモフ=ウィトテン不変量のモジュラーパラメトライゼーションが可能か？
• RQ4 周期関数のq展開の係数が、微分方程式から導かれる再帰的系によって一意に決定可能か？
• RQ5 関数 $ t_i $ の正確な重みおよびモジュラー型は何か？また、モノドロミーおよびガウス=マイン接続とどのように関係するか？

主な発見

• 関数 $ t_i $ は $ q=0 $ の近傍で正則であり、$ t_i = (2\pi i / 5)^{d_i} h_i(q) $ と表され、$ h_i(q) $ は $ q = e^{2\pi i \tau_0} $ におけるべき級数である。$ i=0,\dots,4 $ に対して $ d_i = 3(i+1) $、$ d_5=11 $、$ d_6=8 $ である。
• 系 $ \text{Ra} $ はラマヌジャン微分方程式の一般化であり、次数 $ 4,7,10,13,16,12,9 $ の同次有理関数右辺を有し、$ \dot{*} = 5q \partial / \partial q $ による次数増加と一致する。
• 初期係数は $ T_0 = [1/5, -25, -35, -6, 0, -1, -15] $ および $ T_1 = [24, -2250, -5350, -355, 1, 1875, 4675] $ であり、微分系と初期条件から計算される。
• 再帰的関係 $ T_n $ は $ n \geq 2 $ で可逆であり、$ A_0 + 5nI $ が可逆であるため、$ T_0 $ と $ T_1 $ からすべての $ h_{i,n} $ が一意に決定可能である。
• 関数 $ t_i $ は周期積分として表現可能である：$ x_{11} = \int_{\delta_1} \eta $、$ x_{21} = \int_{\delta_2} \eta $、など。ここで $ \delta_i \in H_3(W_{1,z}, \mathbb{Z}) $、$ \eta $ はホロモーフィック3形式である。
• $ t_i $ の $ q $-展開は微分系 $ \text{Ra} $ によって完全に決定可能であり、$ \dot{t}_i $ は $ \dot{*} = 5q \partial / \partial q $ を用いて計算され、$ q $ のべき乗を一致させることで係数が得られる。