[論文レビュー] Modular unit and cuspidal divisor class groups of X_1(N)

Yifan Yang|ArXiv.org|Dec 5, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$X_1(N)$ 上のモジュラー単位の群において、∞-カスプに台を持つものについて明示的な基底を構成し、ジャコビアン $J_1(N)$ の有理 torsion 部分群 $\mathscr{C}_1^\infty(N)$ の計算を可能にする。正則素数 $p$ について、$\mathscr{C}_1^\infty(p^n)$ の $p$-主部分構造についての予想を提示し、$N \leq 100$ の範囲で群構造の広範な数値計算によって裏付けられている。

ABSTRACT

In this article, we consider the group $F_1^\infty(N)$ of modular units on $X_1(N)$ that have divisors supported on the cusps lying over $\infty$ of $X_0(N)$, called the $\infty$-cusps. For each positive integer $N$, we will give an explicit basis for the group $F_1^\infty(N)$. This enables us to compute the group structure of the rational torsion subgroup $C_1^\infty(N)$ of the Jacobian $J_1(N)$ of $X_1(N)$ generated by the differences of the $\infty$-cusps. In addition, based on our numerical computation, we make a conjecture on the structure of the $p$-primary part of $C_1^\infty(p^n)$ for a regular prime $p$.

研究の動機と目的

• $X_1(N)$ 上のモジュラー単位の群 $\mathscr{F}_1^\infty(N)$ について、∞-カスプに台を持つものの明示的基底の構成。
• ジャコビアン $J_1(N)$ の有理 torsion 部分群 $\mathscr{C}_1^\infty(N)$ が、∞-カスプの差によって生成されることに基づき、その群構造の計算。
• 正則素数 $p$ について、数値的証拠に基づき $\mathscr{C}_1^\infty(p^n)$ の $p$-主部分構造に関する予想の提示。
• 明示的基底の構成を通じて、除数類群 $h_1^\infty(N)$ の体系的計算フレームワークの提供。
• ∞-カスプに台を持つモジュラー単位と、ジャコビアン $J_1(N)$ の算術との間の関係の確立。

提案手法

• ∞-カスプに台を持つモジュラー単位として定義される、$X_1(N)$ 上のモジュラー単位の群 $\mathscr{F}_1^\infty(N)$ について、明示的基底の構成。ここで、∞-カスプとは $X_0(N)$ 上の $∞$ に上方に投射されるカスプを指す。
• 複素数乗法群 $\mathbb{C}^\times$ による剰余における除数写像の単射性を用い、スカラーを除いた $\mathscr{F}_1^\infty(N)$ の最大ランクが $\phi(N)/2 - 1$ で抑えられることを示す。
• シーゲル関数およびデデキントのエータ積の理論を応用し、$X_1(N)$ 上で台が制御されたモジュラー単位を生成する。
• 数値的アルゴリズムを用いて、∞-カスプに台を持つ次数ゼロの除数類群としての $\mathscr{C}_1^\infty(N)$ の群構造を計算する。
• $p^n$ における $\mathscr{C}_1^\infty(N)$ の $p$-主成分を、計算された群構造を用いて分析し、パターンを同定する。
• 観察された $p$-主部分群におけるパターンに基づき、正則素数 $p$ について $\mathscr{C}_1^\infty(p^n)$ の $p$-主部分構造に関する予想を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ∞-カスプに台を持つ $X_1(N)$ 上のモジュラー単位の群 $\mathscr{F}_1^\infty(N)$ の明示的基底は何か？
• RQ2 $J_1(N)$ の有理 torsion 部分群 $\mathscr{C}_1^\infty(N)$ は、$\mathscr{F}_1^\infty(N)$ の構造からどのように明示的に計算できるか？
• RQ3 正則素数 $p$ について、数値的証拠に基づき $\mathscr{C}_1^\infty(p^n)$ の $p$-主部分構造は何か？
• RQ4 $m$ が $p$ と互いに素であるとき、$\mathscr{C}_1^\infty(mp^n)$ の $p$-主成分はどのように振る舞い、どのようなパターンが現れるか？
• RQ5 $\mathscr{C}_1^\infty(N)$ の群構造と $X_1(N)$ の除数類数 $h_1^\infty(N)$ の間の関係は何か？

主な発見

• 本稿は、$X_1(N)$ 上のモジュラー単位の群 $\mathscr{F}_1^\infty(N)$ について、∞-カスプに台を持つものについて明示的基底を構成し、$J_1(N)$ の有理 torsion 部分群 $\mathscr{C}_1^\infty(N)$ の完全な計算を可能にした。
• $N \leq 100$ の範囲で、$\mathscr{C}_1^\infty(N)$ の完全な群構造を計算し、表1に結果を提示。有限アーベル群の不変因子を示している。
• 正則素数 $p$ について、$\mathscr{C}_1^\infty(p^n)$ の $p$-主部は、類数の $p$-進付値に基づく再帰的パターンに従うと予想されている。表2および表3で確認できる。
• $p=2$ の場合、$\mathscr{C}_1^\infty(2^n)$ の $2$-主部は、$k \geq 4$ のとき $(2)(2^2)^{2^{k-2}-1}$ のような、基本的因子に $2$ の累乗が増加する複雑なパターンを示す。
• $p=3$ の場合、$\mathscr{C}_1^\infty(3^n)$ の $3$-主部は、$3^k$ の指数が再帰的に増加し、$3^k$ のコピー数が二重化するパターンを示す。
• $m$ が $p$ と互いに素であるとき、$\mathscr{C}_1^\infty(mp^n)$ の $p$-主部は、$m$ の $p$-進付値と $\mathscr{C}_1^\infty(p^n)$ の構造に依存することが観察された（表3では $m=2,3,4,6$ の場合を示している）。これらのパターンは、$p$-主部における乗法的性質を示唆している。