[論文レビュー] Modularity and Optimality in Social Choice

Gennaro Amendola, Simona Settepanella|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2010

Game Theory and Voting Systems参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、社会的選択理論におけるu-局所最適解を導入し、相互に依存する要素の集合である社会的結果に対して、モularity（モジュール性）と最適性を分析する。幾何モデルとトーナメント理論を結びつけることで、普遍的吸引域を計算するO(M³ log M)のアルゴリズムを提示し、複雑な選択設定においてグローバル最適解が稀であることが明らかになった。

ABSTRACT

Marengo and the second author have developed in the last years a geometric model of social choice when this takes place among bundles of interdependent elements, showing that by bundling and unbundling the same set of constituent elements an authority has the power of determining the social outcome. In this paper we will tie the model above to tournament theory, solving some of the mathematical problems arising in their work and opening new questions which are interesting not only from a mathematical and a social choice point of view, but also from an economic and a genetic one. In particular, we will introduce the notion of u-local optima and we will study it from both a theoretical and a numerical/probabilistic point of view; we will also describe an algorithm that computes the universal basin of attraction of a social outcome in O(M^3 logM) time (where M is the number of social outcomes).

研究の動機と目的

• モジュラーで相互に依存する結果を伴う社会的選択モデルにおけるu-局所最適解の概念を形式化し、分析すること。
• マレングォとゼッテパネラの幾何的モデルが、要素の集合に対する社会的選択を扱う際の数学的課題を解決すること。
• オブジェクト構築力（バンドル化とアンバンドル化が社会的結果に与える影響）が、トポロジー的およびアルゴリズム的ツールを通じてどのように社会的選択に影響を与えるかを調査すること。
• 古典的モデルと新しいモジュラー枠組みとの比較を通じて、特に最適解の存在と確率に関する考察を行うこと。
• 社会的結果の普遍的吸引域を計算する計算効率の良い手法を開発すること。

提案手法

• すべての可能なオブジェクト構築法を考慮した普遍的吸引域に基づき、局所最適解の拡張としてu-局所最適解の概念を導入する。
• トーナメント理論と超平面配置を用いて、モジュラー設定における社会的結果間の選好関係をモデル化する。
• 代数的トポロジーと実中心配置を用いて、社会的選択関数の構造とその最適解を分析する。
• Mが社会的結果の数であるとして、O(M³ log M)時間で普遍的吸引域を計算するアルゴリズムを開発する。
• 確率的および数値的分析を用いて、古典的およびモジュラーな社会的選択モデルにおけるグローバル最適解の発生確率を推定する。
• 幾何的および組合せ的技法を用いて、オブジェクト集合の制約を用いた背理法により、特定の結果がグローバル最適解でないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 u-局所最適解は、モジュラーな社会的選択設定において、局所最適解やグローバル最適解とどのように異なるか？
• RQ2 与えられた社会的結果の普遍的吸引域を決定する計算の複雑度はどの程度か？
• RQ3 選好関係が相互に依存する要素のバンドルとして構造化された場合、社会的ルールがグローバル最適解を持つ確率はどのように変化するか？
• RQ4 ある結果がグローバル最適解でないにもかかわらずu-局所最適解であることは可能か？そのような状況が生じる条件は何か？
• RQ5 オブジェクト構築力（バンドル化とアンバンドル化を通じて）は、古典的モデルが捉えきれない形で社会的選択結果にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 古典的モデルにおけるM個の結果を伴う社会的ルールがグローバル最適解を持つ確率はM / 2^(M-1)であり、Mが増えると急激に減少する。たとえばM=14のとき、0.001709となる。
• グローバル最適解、u-局所最適解（000）、局所最適解（101）が共存する最小の例（8つの結果）を構築し、異なる最適解タイプの存在を実証した。
• 結果000はu-局所最適解であるが、オブジェクト集合の制約と順序関係を用いた背理法により、グローバル最適解ではないことが示された。
• 結果101は局所最適解であるが、いかなるオブジェクト構築法に対しても、その吸引域がすべての代替案をカバーしないため、u-局所最適解ではない。
• 普遍的吸引域を計算するアルゴリズムはO(M³ log M)時間で実行可能であり、ブルートフォースな列挙に比べて顕著に高速化された。
• 古典的モデルにおいて、8つ未満の結果を伴う社会的ルールは、最大で2つの局所最適解しか持てず、特徴が制限されている場合にはグローバル最適解はたかだか1つである。