[論文レビュー] Modularity maximisation for graphons

Florian Klimm, Nick S. Jones+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Graph theory and applications参考文献 70被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、密度的なネットワークの極限対象たるグラフン（graphon）に対するモジュラリティ最大化の連続的拡張として、グラフン・モジュラリティを導入する。これにより、無限大で連続的なネットワーク表現におけるコミュニティ検出が可能になる。モジュラリティ最大化を連続最適化問題に再定式化することで、特定のグラフンに対して解析的に解けることを示し、ネットワークデータからグラフンを推定することで、プライバシーを保ちつつコミュニティ検出を向上させられることを示している。実世界のネットワークでは調整付き相互情報量（AMI）が最大0.93に達する。

ABSTRACT

Networks are a widely-used tool to investigate the large-scale connectivity structure in complex systems and graphons have been proposed as an infinite size limit of dense networks. The detection of communities or other meso-scale structures is a prominent topic in network science as it allows the identification of functional building blocks in complex systems. When such building blocks may be present in graphons is an open question. In this paper, we define a graphon-modularity and demonstrate that it can be maximised to detect communities in graphons. We then investigate specific synthetic graphons and show that they may show a wide range of different community structures. We also reformulate the graphon-modularity maximisation as a continuous optimisation problem and so prove the optimal community structure or lack thereof for some graphons, something that is usually not possible for networks. Furthermore, we demonstrate that estimating a graphon from network data as an intermediate step can improve the detection of communities, in comparison with exclusively maximising the modularity of the network. While the choice of graphon-estimator may strongly influence the accord between the community structure of a network and its estimated graphon, we find that there is a substantial overlap if an appropriate estimator is used. Our study demonstrates that community detection for graphons is possible and may serve as a privacy-preserving way to cluster network data.

研究の動機と目的

• 有限ネットワークにおけるモジュラリティ最大化を、連続的・無限大なネットワーク極限にまで拡張するコミュニティ検出のフレームワークを構築すること。
• 有限ネットワークにおけるコミュニティ検出と類似するモジュラー構造を同定することで、複雑なグラフンモデルの解釈可能な要約を可能にすること。
• 実世界のネットワークにおけるコミュニティ構造が、まずグラフンを推定し、その後にモジュラリティ最適化を施すことによって回復可能かどうかを調査すること。
• 異なるグラフン推定手法が、元のネットワークと比較して検出されたコミュニティ構造の忠実度に与える影響を評価すること。

提案手法

• グラフン関数を用いて単位正方形上で統合することで、ニューマン＝ギルヴァンのモジュラリティの連続的アナログとしてグラフン・モジュラリティを定義する。
• 可測な単位区間の分割に関する連続最適化問題にモジュラリティ最大化を再定式化することで、特定のグラフンに対して解析的解が得られることを可能にする。
• 元のネットワークに対して標準的なネットワークコミュニティ検出（モジュラリティ最大化）を適用し、ネットワークからグラフンを推定した後に行う結果とを比較する。
• 行列補完法、USVT、ソート・スムージングの3つのグラフン推定手法を用い、それらがコミュニティ検出の忠実度に与える影響を評価する。
• 調整付き相互情報量（AMI）というクラスタリング比較の標準指標を用いて、ネットワークとグラフンベースのパーティション間の一致度を評価する。
• アロウズ＝フーバー表現を活用して、グラフンを[0,1]²上の関数として表現することで、連続的な数学的ツールを用いた解析が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度的なネットワークの連続的極限としてのグラフンに対して、モジュラリティ最大化を意味的に拡張できるか？
• RQ2 有限ネットワークにおけるコミュニティ構造は、まずグラフンを推定し、その後にモジュラリティ最適化を施すことによって、どの程度回復可能か？
• RQ3 グラフン推定手法の選択が、直接的なネットワーク解析と比較して得られるコミュニティ検出の正確性に与える影響はいかほどか？
• RQ4 特定のグラフンクラスにおいて、モジュラリティ最大化に解析的解が存在するか？また、そのような解が可能になる構造的特徴は何か？
• RQ5 グラフンベースのコミュニティ検出は、直接的なネットワーク解析の代替手段としてプライバシー保護型の手法として有効か？

主な発見

• グラフン・モジュラリティは連続最適化問題として定義され、最大化可能であり、特にブロック定数型や滑らかなグラフンに対しては解析的解が得られる。
• 米国上院投票ネットワークでは、グラフンベースのモジュラリティ最大化が、直接的なネットワーク解析と同一のコミュニティ構造を回復し、AMIが0.9286に達した。
• フェイスブックネットワークでは、グラフンベースのクラスタリングが元のネットワークパーティションの45％の情報を回復した（AMI = 0.45）ことから、顕著な忠実度が確認された。
• 脳結合ネットワークではAMIが0.54に達し、滑らかさによる影響にもかかわらず、グラフン推定が意味のあるモジュラー構造を保持していることが示された。
• 行列補完法は一貫して高いAMI値（すべて>0.4）を示したが、USVT やソート・スムージングはしばしばゼロに近い一致度を示し、AMIが低かった。
• ソート・スムージング法はすべてのデータセットで著しく劣り、AMI値が0.17未満にとどまり、本研究の文脈ではコミュニティ検出にほとんど有用でないことが示された。