[論文レビュー] Modularity of solvable Artin representations of GO(4)-type

Dinakar Ramakrishnan|ArXiv.org|Feb 6, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、数体上のGO(4)-型4次元可解アーティン表現のモジュラリティを証明し、そのL関数がGL(4)上の中間的自動形式に対応することを確立する。主な結果は、このような表現がモジュラーであり、尖型性と既約性が同値であることを示しており、ラングランズのモジュラリティ予想をGL(2)を超える偶数次元における非単項的で原始的な表現の新たなクラスへ拡張する。

ABSTRACT

This is an updated version of ANT-0253. Let F be a number field with absolute Galois group G. We associate, to each continuous, solvable C-representation of G of GO(4)-type, an automorphic form P of GL(4)/F with the same L-function. As a consequence we exhibit an infinite class of primitive, 16-dimensional representations for which the Artin conjecture holds.

研究の動機と目的

• 数体上におけるGO(4)-型4次元可解ガロア表現のモジュラリティ予想を確立すること。
• アーティンの予想を満たす、非可約で非単項的、原始的なアーティン表現の新たな例を提供すること。
• このような表現のテンソル積に対する強いアーティン予想を拡張すること。
• 特定の非正規な3^a次拡大について、強いデデキンド予想を検証すること。
• 可解なGO(4)-型表現の文脈において、基底変換と誘導の自動型性を検討すること。

提案手法

• GO(4,C)をGL(2,C) × GL(2,C)をC*で割った商としての構造を用い、この群を経由する表現を分析する。
• 可解群構造に基づくクラッフォードの定理と降下法を適用し、次元≤2の既約成分に問題を還元する。
• 2次元可解表現に対するラングランズ＝タンネルの定理を基礎的入力として用いる。
• 自動型誘導とアサイ上り（As(π)）の構成を用い、2次元表現のテンソル積からGL(4)上の中間的自動形式を構築する。
• 中間的自動形式の理論と基底変換を用い、モジュラリティを3^a次拡大へ拡張する。
• アーティン＝クローツの自動型誘導理論と可解ガロア群の構造を用い、L関数との整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GO(4)-型4次元可解アーティン表現が、GL(4)上の中間的自動形式のL関数と一致する、すなわちモジュラーであることを示せるか？
• RQ2 このような表現のテンソル積が、アーティンの予想を満たす、原始的かつ非可約なアーティンL関数の新たな例をもたらすか？
• RQ3 GO(4)-型表現から生じる非正規な3^a次拡大N/Fに対して、強いデデキンド予想は成り立つか？
• RQ4 奇数次元のGO(n)-型表現（特にO(n,C)に値をとる場合）について、GO(2m+1)-型のモジュラリティを確立できるか？
• RQ5 どのような条件下で、二次拡大への基底変換において表現が非可約のままであるか？ そしてこれは自動型性にどのように影響するか？

主な発見

• 定理Aは、数体F上の連続的で4次元の可解アーティン表現（GO(4)-型）がすべてモジュラーであることを示しており、ある中間的自動形式π on GL(4,AF)に対してL(s,ρ) = L(s,π_f)が成り立つ。
• 自動形式πが尖型であることは、ガロア表現ρが非可約であることと同値である。
• 系Bは、2つのこのような表現のテンソル積ρ⊗ρ′についても、アーティンの予想が成り立つことを確認しており、テンソル積が非可約で次元16であっても同様である。
• 各数体Fに対して、非可約で原始的である16次元表現ρ⊗ρ′の二重無限族が存在し、アーティンの予想を満たす。
• 非正規な拡大N/F（3^a次、a ≥ 1）に対して、強いデデキンド予想が検証され、ζ_N(s)/ζ_F(s)がGL(3^a−1)/F上の中間的自動形式のL関数に等しいことが示された。
• 命題Cは、任意の非可約で可解的、奇数次元のGO(n)-型表現が単項的であることを証明しており、したがってアーティンの予想を満たす。