[論文レビュー] Modularity of the Rankin-Selberg L-series, and multiplicity one for SL(2)

Dinakar Ramakrishnan|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2000

Analytic Number Theory Research被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、任意の数体 F 上の GL(2) 上の正規尖点モジュラー形式のペアに関連するランキン・セルバーグ L 関数のモジュラー性を確立し、関連する L 関数が GL(4)/F 上の自動形式から生じることを証明する。逆定理、基本拡大、降下技法を用いて、三重積 L 関数の解析接続および関数等式に関する長年の問題を解決し、SL(2) における重複度 1 定理を導出し、モジュラー曲線の 4 重積に関するターテの予想への応用を示す。

ABSTRACT

A fundamental question, first raised by Langlands, is to know whether the Rankin-Selberg product of two (not necessarily holomorphic) cusp forms f and g is modular, i.e., if there exists an automorphic form f box g on GL(4)/Q whose standard L-function equals L^*(s, f x g) after removing the ramified and archimedean factors. The first main result of this paper is to answer it in the affirmative, in fact with the base field Q replaced by any number field F. Our proof uses a mixture of converse theorems, base change and descent, and it also appeals to the local regularity properties of Eisenstein series and the scalar products of their truncations. One of the applications of this result is that the space of cusp forms on SL(2) has multiplicity one. Concretely this means the following: If f, g are newforms of holomorphic or Maass type with trivial character such that the squares of the p-th coeficients of f and g are the same at almost all primes p, then g must be a twist of f by a quadratic Dirichlet character.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、任意の数体 F 上の GL(2) 上の尖点形式 f, g に対して、ランキン・セルバーグ L 関数 L(s, f × g) のモジュラー性を解明することである。
• それは、ランキン・セルバーグ L 関数が GL(4)/F 上の自動形式表現から生じることを確立することを求める。これはラングランズの予想を確認するものである。
• 本研究は、SL(2) における重複度 1 問題を取り扱い、尖点形式の空間が重複する既約成分を含まないことを証明する。
• 三重積 L 関数の関数等式および根数を、特に直交的表現と関連して調査する。
• 本稿は、4 重積モジュラー曲線のターテの予想に貢献し、コホモロジーにおけるターテ類の代数的性を分析する。

提案手法

• GL(4) に対する逆定理を用い、m ≤ 2 である K 上の GL(m) 上の尖点形式 η に対して、L(s, Π × η) の解析的性質を要請する。
• 可解拡大 K/F への基本拡大を用いて、ランキン・セルバーグの持ち上げ π ⊠ π′ をグローバルに定義し、初期段階で局所ラングランズ対応を必要としない。
• GSp(6)/F 上のイzeńシュタイン級数のアーティンの切断を用いて、垂直ストリップ内での有界性を制御し、逆定理にとって不可欠な役割を果たす。
• ラングランズ、タンネル、池田らの結果を統合し、すべての場所で三重積 L 関数の三つの候補（Euler 積、積分表現、ラングランズ＝シャーディ）が一致することを示す。
• 循環層を用いた帰納的議論による降下を用い、K 上でのモジュラー性を証明した後、K から F への自動形式の降下を実行する。
• 可解基本拡大および基本拡大の関手的性質を含むグローバルな議論に依存し、L 関数が所望の解析的および算術的性質を満たすことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL(2)/F 上の尖点形式 f, g に対して、ランキン・セルバーグ L 関数 L(s, f × g) は、GL(4)/F 上の自動形式表現から生じるか？
• RQ2 三重積 L 関数 L(s, π × π′ × η) が、Euler 積、積分表現、ラングランズ＝シャーディの各構成で同じ局所因子を持つことが示せるか？
• RQ3 SL(2) 上の尖点形式の空間は重複度 1 であるか、すなわち既約自動形式表現が重複度 1 で現れるか？
• RQ4 三重積 L 関数 L(s, π1 × π2 × π3 × π4) の s = 1 における極の位数は正確にどれか？また、それが 0 または 1 次または 2 次の極を持つのはいつか？
• RQ5 4 重積モジュラー曲線のコホモロジーにおけるすべてのターテ類は、可解拡大上での代数的か？

主な発見

• ランキン・セルバーグ L 関数 L(s, f × g) は、任意の数体 F 上でモジュラーであり、GL(4)/F 上の自動形式表現から生じる。
• 基本拡大の後、三重積 L 関数 L(s, π × π′ × η) は、すべての場所で三つの構成（Euler 積、積分、ラングランズ＝シャーディ）において同じ局所因子を持つ。
• 尖点形式の空間は SL(2) 上で重複度 1 である。これはランキン・セルバーグ L 関数のモジュラー性および 4 重積の L 関数の構造によって示される。
• L(s, π1 × π2 × π3 × π4) の s = 1 における極の位数は 2 以下であり、特定の捩れ条件が満たされる場合にのみ非ゼロである。
• 表現 π3 と π4 がともにイhlenシュタイン型であり、かつ (µω1ω3)−1 が π3 ⊠ π4 に重複度 2 で現れる場合、極の位数は 2 である。
• 少なくとも一つの Xj が Nj が平方自由である X0(Nj) である限り、4 重積モジュラー曲線のコホモロジーにおけるすべてのターテ類は、可解拡大上での代数的である。