[論文レビュー] Modularity of trace functions in orbifold theory for Z-graded vertex operator superalgebras

Chongying Dong, Zhongping Zhao|ArXiv.org|Jan 23, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{Z}$-gradedな頂点 operator super代数（VOSA）における $h\sigma$-trace 関数のモジュラー不変性を、オルビフォールド理論において確立する。$V$ が $C_2$-cofinite かつ $g$-rational であるとき、これらの trace 関数は全モジュラー群 $SL(2,\mathbb{Z})$ の表現をなすことが証明される。主な結果は、$\mathbb{Z}$-graded VOSA にモジュラー不変性を拡張したものであり、$\frac{1}{2}\mathbb{Z}$-graded な設定における先行研究とは異なり、$g$-twisted セクターにおける $h\sigma$-trace 関数がモジュラー不変であることを示している。この結果は、$V_{\mathbb{Z}\alpha}$ のようなホロモーフィック $\mathbb{Z}$-graded VOSA への応用を含む。

ABSTRACT

We study the trace functions in orbiford theory for Z-graded vertex operator superalgebras and obtain a modular invariance result. More precisely, let V be a C_2-cofinite Z-graded vertex operator superalgebra and G a finite automorphism group of V. Then for any commuting pairs (g,h) in G, the hσ-trace functions associated to the simple g-twisted V-modules are holomorphic in the upper half plane where σis the canonical involution on V coming from the superspace structure of V. If V is further g-rational for every g n G, the trace unctions afford a representation for the full modular group SL(2,Z).

研究の動機と目的

• $\mathbb{Z}$-graded な頂点 operator super代数（VOSA）におけるオルビフォールド理論の trace 関数のモジュラー不変性を確立すること。これは、$\frac{1}{2}\mathbb{Z}$-graded VOSA に関する先行研究では十分にカバーされていない設定である。
• $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$-graded の構成から得られない、$\mathbb{Z}$-graded VOSA におけるモジュラー不変性の欠落を補うこと。
• $\mathbb{Z}$-graded VOSA におけるモジュラー不変性のパターンの違いを明確にすること：$\mathbb{Z}$-graded 場合、$g$-twisted セクターにおける $h\sigma$-trace 関数はモジュラー不変であるが、$\frac{1}{2}\mathbb{Z}$-graded 場合の $g\sigma$-twisted セクターとは異なり、その性質が異なる。
• $C_2$-cofreeness および $g$-rationality 条件を $\mathbb{Z}$-graded VOSA に一般化し、trace 関数の有限次元表現空間を保証すること。

提案手法

• $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$-grading を持つ $\mathbb{Z}$-graded な頂点 operator super代数を定義し、スパインスペース構造に由来する標準的自己同型 $\sigma = (-1)^F$ を含める。
• $g$-twisted $V$-モジュールを $A_g(V)$-モジュールとして分類するための可換代数 $A_g(V)$ を導入し、[DLM3] および [DZ2] の手法を拡張する。
• トーラス上の $1$-点関数として、$\sigma$-twisted 動作を用いて $g$-twisted モジュール上の $h\sigma$-trace 関数を定義し、supertrace を定義する。
• $g$-rational な $V$ に対して、$h\sigma$-安定な非同型 $g$-twisted モジュール上の $h\sigma$-trace 関数が、空間 $\mathcal{C}(g,h)$ の基底をなすことを証明し、モジュラー表現を保証する。
• $\mathbb{Z}$-graded 構造を用いて、新しいバーチャル・フォーマル・エレメント $\tilde{\omega} = \omega - \frac{c}{24}$ を定義し、$Y[v,z] = Y(v,e^z - 1)e^{z \cdot \mathrm{wt}(v)}$ を通じて、頂点 operator 代数に $\mathbb{Z}$-grading を誘導する。これにより、モジュラー変換の分析が可能になる。
• ホロモーフィック $\mathbb{Z}$-graded VOSA $V_{\mathbb{Z}\alpha}$ における明示的計算を通じて、モジュラー不変性を検証し、trace 関数が $SL(2,\mathbb{Z})$ に対してモジュラー形式として変換することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{Z}$-graded な頂点 operator super代数における trace 関数のモジュラー不変性は、$\frac{1}{2}\mathbb{Z}$-graded な場合とどのように異なるか？
• RQ2 $\mathbb{Z}$-graded VOSA におけるモジュラー不変性のための正しい twisted セクターと trace 関数（特に $h\sigma$-trace）は何か？
• RQ3 $C_2$-cofreeness および $g$-rationality 条件が、$g$-twisted モジュール上の $h\sigma$-trace 関数が $SL(2,\mathbb{Z})$ のモジュラー表現をなすことを保証できるか？
• RQ4 $\mathbb{Z}$-graded VOSA の trace 関数は、その $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$-graded な対応物（特に $V_{\mathbb{Z}\alpha}$ の場合）とどのように関係するか？
• RQ5 $V_{\mathbb{Z}\alpha}$ のような具体的な例（例えば）で、$h\sigma$-trace 関数のモジュラー変換性を明示的に検証できるか？

主な発見

• $C_2$-cofinite な $\mathbb{Z}$-graded VOSA $V$ および有限自己同型群 $G$ に対して、$g$-twisted モジュール上の $h\sigma$-trace 関数は、上半平面における正則モジュラー形式である。
• $V$ がすべての $g \in G$ に対して $g$-rational であるとき、$h\sigma$-安定な非同型 $g$-twisted $V$-モジュール上の $h\sigma$-trace 関数は、空間 $\mathcal{C}(g,h)$ の基底をなし、$SL(2,\mathbb{Z})$ の表現をなす。
• $\mathbb{Z}$-graded VOSA におけるモジュラー不変性のパターンは特徴的である：$g$-twisted セクターにおける $h\sigma$-trace 関数はモジュラー不変であるが、$\frac{1}{2}\mathbb{Z}$-graded 場合の $g\sigma$-twisted セクターとは異なり、その性質が異なる。
• 中心指数 $c' = -2$ の $V_{\mathbb{Z}\alpha}$ の例では、$h\sigma$-trace 関数は $\eta(\tau)^{-1} \theta_i(q)$ として表され、$\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4$ はヤコビのシータ関数である。
• トレース関数 $T(\mathbf{1},(g,h),\tau)$ のモジュラー変換則は、既知の $\eta(\tau)$ および $\theta_i(q)$ の恒等式に一致し、$SL(2,\mathbb{Z})$ における不変性が確認される。
• $\mathbb{Z}$-graded な $V_{\mathbb{Z}\alpha}$ とその $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$-graded な対応物 $V_L$ のトレース関数は同一であり、グレーディング系間の整合性が裏付けられる。