[論文レビュー] Module approximate amenability of Banach algebras

Hasan Pourmahmood-Aghababa, Abasalt Bodaghi|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 17被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、別のバナッハ代数上でのモジュールとしてのバナッハ代数に対するモジュール近似可約性およびモジュール近似合同性の理論を導入し、発展させる。可換バナッハ代数がモジュール代数上にモジュールとして作用する場合、モジュール近似可約性とモジュール近似合同性が同値であることを確立し、逆半群 $S$ に対して、半群代数 $ olimits^1(S)$ が $ olimits^1(E)$-モジュールとして近似可約（または合同）であるための必要十分条件は $S$ が可約であることであることを示す。また、$ olimits^1(S)^{**}$ についても、その最大の群的同型像の有限性に基づく類似の特徴づけがなされる。

ABSTRACT

In the present paper, the concepts of module (uniform) approximate amenability and contractibility of Banach algebras that are modules over another Banach algebra, are introduced. The general theory is developed and some hereditary properties are given. In analogy with the Banach algebraic approximate amenability, it is shown that module approximate amenability and contractibility are the same properties. It is also shown that module uniform approximate (contractibility) amenability and module (contractibility, respectively) amenability for commutative Banach modules are equivalent. Applying these results to $\ell^1(S)$ as an $\ell^1(E)$-module, for an inverse semigroup $S$ with the set of idempotents $E$, it is shown that $\ell^1(S)$ is module approximately amenable (contractible) if and only if it is module uniformly approximately amenable if and only if $S$ is amenable. Moreover, $\ell^1(S)^{**}$ is module (uniformly) approximately amenable if and only if a maximal group homomorphic image of $S$ is finite.

研究の動機と目的

• 別のバナッハ代数上でのモジュールとしてのバナッハ代数に対する近似可約性理論を拡張すること。
• モジュール（一様、$w^*$-）近似可約性およびモジュール（一様）近似合同性の定義と研究。
• 可換バナッハ $\mathfrak{A}$-両側加群に対して、モジュール近似可約性とモジュール近似合同性の同値性を確立すること。
• $S$ を逆半群とし、その冪等元集合を $E$ とするとき、$ olimits^1(S)$ および $ olimits^1(S)^{**}$ のモジュール近似可約性を、$S$ の最大の群的同型像の可約性および有限性に基づいて特徴づけること。

提案手法

• 別のバナッハ代数 $\mathfrak{A}$ 上の両側加群であるバナッハ代数の文脈で、モジュール導来およびモジュール近似導来を定義する。
• 内導来の強作用位相における閉包を用いて、モジュール（一様）近似可約性およびモジュール（一様）近似合同性の概念を導入する。
• 逆半群の構造およびその冪等元集合 $E$ を用いて、$ olimits^1(S)$ が $ olimits^1(E)$-モジュールとしての性質を分析する。
• 特に、逆半群におけるモジュール可約性と可約性の同値性に言及するモジュール可約性理論の結果を適用する。
• 可換モジュールに対して、モジュール一様近似可約性がモジュール可約性を含み、逆も成り立つという事実を活用する。
• $\ell^1(S)^{**}$ が $ olimits^1(E)$-モジュールで一様に近似可約であるための必要十分条件は、$S$ の最大の群的同型像が有限であることであることを、双対性および商の技法を用いて証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 別のバナッハ代数 $\mathfrak{A}$-モジュールであるバナッハ代数 $\mathcal{A}$ が、$\mathfrak{A}$-モジュールとして近似可約であるための条件は何か？
• RQ2 可換バナッハ $\mathfrak{A}$-両側加群に対して、モジュール近似可約性とモジュール近似合同性は同値か？
• RQ3 冪等元集合が $E$ である逆半群 $S$ に対して、$ olimits^1(S)$ が $ olimits^1(E)$-モジュールとして近似可約（または合同）であるのはいつか？
• RQ4 $\ell^1(S)^{**}$ のモジュール一様近似可約性と $S$ の構造の関係は何か？
• RQ5 $\ell^1(S)$ のモジュール一様近似可約性は、$S$ の可約性とどのように関係するか？

主な発見

• 可換バナッハ代数が別のバナッハ代数上にモジュールとして作用する場合、モジュール近似可約性とモジュール近似合同性は同値である。
• 逆半群 $S$ とその冪等元集合 $E$ をとる。$ olimits^1(S)$ が $ olimits^1(E)$-モジュールとして近似可約（または合同）であるための必要十分条件は、$S$ が可約であることである。
• $\ell^1(S)^{**}$ が $ olimits^1(E)$-モジュール（一様に）近似可約であるための必要十分条件は、$S$ の最大の群的同型像が有限であることである。
• 可換バナッハ $\mathfrak{A}$-両側加群に対して、モジュール一様近似可約性とモジュール可約性は一致する。
• Ghahramani と Loy の結果のモジュール版が成り立つ：$ olimits^1(S)$ が $ olimits^1(E)$-モジュールとして近似可約であることと、$S$ が可約であることは同値である。
• $\ell^1(S)$ のモジュール一様近似合同性は、$S$ の最大の群的同型像の有限性と同値である。