[論文レビュー] Module Biprojective and Module Biflat Banach Algebras

Abasalt Bodaghi, Massoud Amini|ArXiv.org|Dec 20, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、別のバナッハ代数上に作用するモジュールであるバナッハ代数に対する古典的双射性および双平坦性の一般化として、モジュール双射性およびモジュール双平坦性を導入する。逆半群 $S$ が上向きに有向な冪等元 $E$ を持つとき、半群代数 $ olde^1(S)$ が $ olde^1(E)$-モジュールとしてモジュール双射的であることと、群的像 $S/\approx$ が有限であることとは同値であり、モジュール双平坦であることと、$S$ がアメニタブルであることとは同値である。

ABSTRACT

In this paper we define module biprojctivity and module biflatness for a Banach algebra which is a Banach module over another Banach algebra with compatible actions, and find their relation to classical biprojectivity and biflatness. As a typical example, We show that for an inverse semigroup $S$ with an upward directed set of idempotents $E$, the semigroup algebra $ \ell ^{1}(S)$, as an $\ell ^{1}(E)$-module, is module biprojective if and only if an appropriate group homomorphic image of $S$ is finite. Also we show that $\ell ^{1}(S)$ is module biflat if and only if $S$ is amenable.

研究の動機と目的

• 別のバナッハ代数上に作用するモジュールであるバナッハ代数に対する、双射性および双平坦性の古典的概念を拡張すること。
• 逆半群代数の文脈において、モジュール双射性、モジュール双平坦性、およびモジュールアメニタブル性／スーパー・アメニタブル性の関係を調査すること。
• $S$ が上向きに有向な冪等元をもつ逆半群であるとき、$ olde^1(S)$ のモジュール双射的およびモジュール双平坦構造を特徴づけること。
• モジュール性質と半群の構造的特徴（例えば、群的像 $S/\approx$ の有限性や $S$ のアメニタブル性）との関係を明確にすること。
• 半群代数の双平坦性および双射性に関する既知の結果を、モジュール論的設定へと一般化すること。

提案手法

• 別のバナッハ代数 $\mathfrak{A}$ 上に作用するモジュールであるバナッハ代数 $\mathcal{A}$ に対して、モジュール双射性およびモジュール双平坦性を定義する。
• 作用が整合的であると仮定したもとで、$J$ を $a \in \mathcal{A}, \alpha \in \mathfrak{A}$ に対して $\alpha \cdot (ab) - (ab) \cdot \alpha$ で生成される閉イデアルとするとき、商代数 $\mathcal{A}/J$ を用いてモジュール的性質と古典的性質との関係を明らかにする。
• 先行研究におけるモジュールアメニタブル性およびモジュールスーパー・アメニタブル性の結果を応用し、$ olde^1(S)$ が $ olde^1(E)$-モジュールとしての同値条件を確立する。
• 同型 $\ell^1(S)/J \cong \ell^1(S/\approx)$ を用い、ここで $S/\approx$ は $S$ の群的像である。これにより、問題を群代数の性質に還元する。
• 逆半群およびその群的像におけるアメニタブル性および有限性の既知の特徴づけを応用し、モジュール的条件を導出する。
• $\ell^1(S) \widehat{\otimes}_{\ell^1(E)} \ell^1(S)$ が $\ell^1(E)$-モジュールとして可換であることを利用して、モジュールテンソル積の解析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 別のバナッハ代数 $\mathfrak{A}$ 上に作用するモジュールであるバナッハ代数 $\mathcal{A}$ が、いつモジュール双射的となるか。
• RQ2 このような代数がいつモジュール双平坦的となり、これは古典的双射性および双平坦性とどのように関係するか。
• RQ3 逆半群 $S$ が上向きに有向な冪等元 $E$ を持つとき、半群代数 $ olde^1(S)$ が $ olde^1(E)$-モジュールとしていつモジュール双射的となるか。
• RQ4 $\nolde^1(S)$ が $ olde^1(E)$-モジュールとしていつモジュール双平坦的となるか。
• RQ5 モジュール的性質 $ olde^1(S)$ は、群的像 $S/\approx$ の有限性および $S$ のアメニタブル性とどのように関係するか。

主な発見

• 上向きに有向な冪等元 $E$ を持つ逆半群 $S$ に対して、$ olde^1(S)$ は $ olde^1(E)$-モジュールとしてモジュール双射的であるための必要十分条件は、群的像 $S/\approx$ が有限であることである。
• 同じ代数 $ olde^1(S)$ は $ olde^1(E)$-モジュールとしてモジュール双平坦的であるための必要十分条件は、$S$ がアメニタブルであることである。
• $S/\approx$ が無限大であるならば、$ olde^1(S)$ は双射的ではないが、それでもモジュール双射的である可能性がある。
• $\nolde^1(S)$ が双平坦であるならば、$S$ はアメニタブルでなければならない。これは、古典的双平坦性がアメニタブル条件を含意することを示している。
• ビサイクリック半群 $\mathcal{C}$ に対して、$\nolde^1(\mathcal{C})$ はモジュール双平坦であるが、モジュール双射的ではない。なぜなら $\mathcal{C}/\approx \cong \mathbb{Z}$ が無限大だからである。
• 最大演算に関する半群 $\mathbb{N}$ に対して、$\nolde^1(\mathbb{N})$ はモジュール双射的かつモジュール双平坦である（$\mathbb{N}/\approx$ が自明だから）。しかし、非一様局所有限性のため、畳み込みに関しては双射的でも双平坦でもない。